Espace métrique

Ensemble (espace abstrait, non vide, e), au sein duquel la notion de distance (application d) est définie entre les éléments composant cet ensemble (points) . Généralisation de la notion intuitive de distance dans le plan et l’espace euclidiens (produit scalaire) . Les propriétés topologiques d’un tel espace ne sont pas directement définies à partir d’un ensemble d’ouverts (topologique), mais à partir d’une application nommée distance (métrique), qui permet de donner un rôle plus important à l’intuition géométrique . L’espace métrique est un cas particulier d’espace topologique et historiquement la première structure topologique.

Symboles : M – (E, d) {E, est un ensemble et d, une distance sur E … l’ensemble E muni de sa métrique}
Appelé aussi : Espace R^d 
Anglais : Metric space
Espagnol : Espacio métrico
Chinois : 度量空间 (Dùliàng kōngjiān)
Russe : Метрическое пространство (Metricheskoye prostranstvo)

On appelle espace métrisable un espace topologique homéomorphe à un espace métrique (correspondance).

Définition mathématique (3 axiomes ou propriétés) :
Soit E un ensemble (non vide) . Une application d : E x E → R₊ est appelée distance sur E (ou métrique sur E) si les points (axiomes, propriétés) suivants sont vérifiés (pour tout x, y, z, de E) :
1) d(x,y) ≥ 0 {pour tout couple d’éléments (x,y) de E}
2) d(x,y) = 0 ⇔ x = y {relation équivalente à} {axiome de séparation}
3) d(x,y) = d(y,x) {pour tout couple d’éléments de E} {symétrie de d}
4) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) {∀ (x,y,z) ∈ E×E×E} {inégalité dite du triangle, ou triangulaire}

Origine : Maurice Fréchet (normalien, mathématicien)
Histoire : L’espace métrique est historiquement la première structure topologique
Classe d’homéomorphie : Espace topologique (cas particulier)
Classe d’isométrie : Notion de distance entre deux points.
Exembles : Le plan non-euclidien, la sphère, etc.

Domaines : Espace métrique, géométrie, topologie

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Les fiches-clées :

∀ (quel que soit) – δ (delta) – ∈ (appartient à)
δ-hyperbolique

∀ (quel que soit)
Application géométique

Axiome de séparation
Axiomes d’Euclide

Bijection
Boule fermée, ouverte

Calcul différentiel

Classe, d’homéomorphie, d’isométrie

Courbe – (Rubrique/Inventaire), de Jordan
Courbure

δ (delta)
δ-hyperbolique

d-uplet

Déformation continue
Dimension euclidienne
Distance (d), Distance dans l’espace, le plan, R – Écart
Droite

∈ (appartient à)

… ensemble :  Les éléments d’un ensemble – Sous-ensemble
Ensemble (mathématique – E), convexe, dénombrable, non vide, ouvert, R₊, vide
Les ensembles de nombres – (Inventaire) : La théorie des ensembles

… espace : Propriétés topologiques d’un espace

Espace (géométrie), (mathématiques), abstrait, affine, courbe, euclidien (à trois dimensions), fermé, hyperbolique

Espace métrique (rubrique), fermé, ouvert, parfait

Espace métrisable, ouvert, perçu – (Rubrique), topologique – (Rubrique), vectoriel

Fonction continue

Généralisation (topologie)
Géodésique

Géométrie – (Rubrique) : Les niveaux de la géométrie
Géométrique (adjectif) : Glossaire géométrique (rubrique), différentielle, euclidienne, euclidienne en dimension 3, hyperbolique (non-euclidienne, de Lobatchevsky), plane élémentaire, sphérique, sphérique-elliptique, usuelle

Les géométries – (Inventaire) : Les géométries de Thurston, multidimensionnelles – Bijection – Déformation continue – Homéomorphisme

Homéomorphisme

Inégalité triangulaire, ultramétrique
Intuition géométrique
Isométrie

La métrique – (Rubrique/Inventaire) : Métrique en dimension 2, euclidienne
Métrique (adjectif) : Espace métrique géodésique

Norme

Plan – (Rubrique/Inventaire), euclidien, non-euclidien
Point
Produit scalaire
Propriété

R₊

Sphère
Surface

Topologie – (Rubrique) : Topologie générale –
Topologique (adjectif) : Structure topologique – Transformation topologique (homéomorphie)

Théorèmes (rubrique/inventaire) : Théorèmes d’uniformisation

Uniformisation : Théorèmes d’uniformisation
Uniformiser un cercle par une droite

Volume métrique

Chercheurs, spécialistes, enseignants, vulgarisateurs :

Maurice Fréchet (…) – (Rubrique) – … Hadamard (…) – (Rubrique) – … Volterra (…) – (Rubrique)

Ailleurs dans le site :

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Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

(Cours) Notion d’espace métrique – ChronoMath – Topologie générale : Espace métrique – Wikiversité
(PDF) Introduction aux espaces métriques – LMPT Université de Tours

Sources & Outils :

维基百科 – Academic – Bases de l’analyse mathématique (Licence L2 L3 – Prépas) – Википедия – Blogs – L’OBS – C&M – ChronoMath – Gilles Dubois (professeur) – ECOSIA – Léonard Gallardo (LMPT Tours) – Google France – Google images – Google Traduction – Olivier Hartmanshenn (blog – L’OBS) – Histoire de la relativité du mouvement – images des Maths – L’île des mathématiques – LMPT Université de Tours – Le Petit Larousse – Le Robert-Dixel Mobile – Pixelmator (outil, mac-os) – Qwant – Wikipedia – Wikipedia (ES) – Wikipédia – Wikiversité – Wiktionnaire – WordPress.com