Élément (mathématiques)

Un des objets qui constituent un ensemble . Du latin elementum.

Symbole : ∈ (est élément de)
Appelé aussi : Élément mathématique – (attention à ne pas confondre avec : Les éléments de mathématiques) – Appartenance
Anglais : Element (mathematics)
Espagnol : Elemento de un conjunto (élément d’un ensemble)
Chinois : 元素 (數學) {yuánsù shùxué – élément mathématiques}
Russe : Множество (mnozhestvo – appartenance)

Est un élément de symbole mathématique Icon gratuit - fr.freepik.com

Domaines : Géométrie, logarithmes, mathématiques


Cf. les fiches-clées :

Appartenance – Classe – Ensemble – (Inventaire)

Élément (glossaire scientifique) – Éléments (inventaire) – Éléments d’Euclide (traité)

Géométrie – (Rubrique) – Traitement axiomatique, systématique de la géométrie
Logarithme – (Rubrique)
Mathématique – Mathématiques – (Rubrique)
Objet mathématique – (Inventaire) – Relation entre deux objets mathématiques

(Chercheurs) Nicolas Bourbaki (1940)Euclide (300 AVJC)
(Linguistique)
 Élément formant – (Inventaire)

(Osmos) Élément (physique) – Élément (matière) – Élément (chimie) 

Documentation (liens externes) :

Appartenance (mathématiques) – Wikipédia

(Ouvrages) Éléments d’Euclide – Traité mathématique et géométrique – Wikipédia – Éléments de mathématique – Traité de mathématiques du groupe Nicolas Bourbaki – Wikipédia

Sources :

维基百科 – Википедия – Encyclopædia Universalis – Éduscol – freepik – Google FranceGoogle TraductionQwantLe Robert-Dixel MobileWikipediaWikipedia (ES)Wikipédia

Ensemble

Collection d’objets (mathématiques ; éléments), la réunion de ces éléments en un tout (régit par des axiomes, des propriétés).

Du latin insimul (en même temps), de in- et simul (à la fois).
Prononciation (phonétique) : ɑ̃sɑ̃bl

Abréviation / Symbole : M
Anglais : Set (mathematics)
Espagnol : Conjunto
Chinois : 集合 (数学) {jíhé (shùxué) – ensemble (mathématiques)}
Russe : Множество (mnozhestvo – beaucoup)

Venn diagram - Cepheus - Wikimedia Commons

Un élément (m) d’un ensemble (M) est dit appartenir (∈) à cet ensemble (théorie des ensembles, approche axiomatique) . Un ensemble désignant un objet du domaine de la théorie des ensembles, dont les axiomes régissent les propriétés . Tout objet mathématique étant un ensemble . La notion d’ensemble est une notion de base qui intervient dans quasiment tous les domaines mathématiques.

Origine : Formulé par le mathématicien Georg Cantor 
Histoire :
La théorie des ensembles est la fondation des mathématiques.

Domaines : Ensembles, mathématiques, nombres


Les fiches-clées :

(appartenir à)

Appartenance (notion)

Axiome (mathématique)
Axiomatique (adjectif) : Approche axiomatique

Ensembles (rubrique) : Les ensembles de nombres – Théorie des ensembles – Théorie naïve des ensembles

Élément (mathématique) : Élément d’un ensemble
Fondements des mathématiques – Objet (mathématique) – Propriété (mathématique)

Chercheurs/Spécialistes :

Georg (Ferdinand Ludwig Philipp) Cantor (mathématicien) – (Rubrique) – Ernst (Friedrich Ferdinand) Zermelo (mathématicien allemand) – (Rubrique)

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

Sources & Outils :

Википедия – Cepheus (Wikimedia Commons) – Google FranceGoogle TraductionLe Robert-Dixel MobileQwantWikimedia CommonsWikipediaWikipedia (ES)维基百科 – WikipédiaWiktionnaire – WordPress.com

Les nombres

Souvent écrits à l’aide d’un ou plusieurs chiffres, les nombres interagissent par le biais d’opérations qui sont résumées par des règles de calcul . Les propriétés de ces relations entre les nombres sont l’objet d’étude de l’arithmétique, qui se prolonge avec la théorie des nombres.

Abréviation : Num.
Anglais : Numbers
Espagnol : Números
Chinois : 号码 (hàomǎ)
Russe : Чисел (chisel)

Mandala - Famille Nombres - Mathelot - Blogspot.com

Les mathématiques proposent plusieurs types de nombres pour exprimer des mesures physiques, résoudre des équations, voire pour appréhender l’infini . En physique, les grandeurs sans dimension sont souvent appelées nombres, tels le nombre de Reynolds en mécanique des fluides ou les nombres quantiques.

Domaines : Arithmétique, mathématiques, nombres


Les fiches-clées :

Arithmétique
Arithmétiques (rubrique)

Équation : Résoudre une équation
Infini : Appréhender l’infini

Nombre, cardinal, concret, d’or, décimal, ordinal, premier

Les nombres (inventaire) : L’ensemble des nombres – Écriture des nombres – Les ensembles de nombresNature des nombres – Nombres algébriques, imaginaires, irrationnels – Les nombres entiers – Relation entre deux nombres – Théorie des nombres – Types de nombres

Opération

Relation mathématique
Relations d’inclusion entre les ensembles de nombres

Règles de calcul

Théorie des ensembles

Ailleurs dans le site :

(osmos – Physique) Grandeurs (rubrique) – L’infini – L’espace infini – L’Univers est-il limité ? – Mesures physiques – Mécanique des fluides – Nombre de Reynolds, quantique – Physicien – (Rubrique) – (Inventaire) – Physique (rubrique/inventaire) – Physique (adjectif)Glossaire physique (rubrique) – Physique quantique (rubrique) – Réaliser une mesure physique
(Ose) Art – (Rubrique) – Emploi du nombre d’or

Documentation (liens externes) :

(Cours) La nature des nombres – lelivrescolaire.fr

Sources & Outils :

Википедия – Google FranceGoogle Traductionlelivrescolaire.fr – Mathelot – Le Robert-Dixel MobileQwantWikipediaWikipedia (ES)Wikipédia – WordPress.com

Intervalles réels

Sous-ensembles (parties) de l’ensemble des nombres réels (R).

Symbole : A ∪ B (union de A et de B)
Appelé aussi : Sous-ensembles de R – Parties de l’ensemble R – Intervalles continus
Anglais : Interval (mathematics)
Espagnol : Intervalo (matemática)
Chinois : 區間 (qūjiān – ensemble)
Russe : Промежуток (математика) [promezhutok (matematika)]

Intervalles - Educastream.com

Un intervalle réel est continu, le chemin entre deux éléments de cet intervalle reste dans celui-ci . Il est représenté sur une droite numérique sous la forme d’un segment de droite (dont les extrémités peuvent être exclues) . Un intervalle peut être ouvert, semi-ouvert, fermé borné par des crochets (ouvrant et/ou fermant) positionnés aux extrémités de cet intervalle appelées bornes a et b . Tous les nombres réels x composant le segment de droite délimité par ces bornes sont strictement plus grand que a et plus petit que b {a < x < b} . L’ensemble formé par la réunion des éléments de A et de B (ayant pour abscisse a et b) est appelé union de A et de B (A ∪ B).

{Attention de ne pas confondre : [a;b] qui contient une infinité de nombres et {a;b} qui contient 2 nombres}.

Domaines : Ensembles de nombres (réels), mathématiques, nombres


Les fiches-clées :

Borne d’un intervalle (a ou b)

Continuité d’un intervalle
Crochet, fermant, ouvrant

Droite, numérique
Extrémités d’un segment : Segment de droite

Ensemble (mathématique)
Un ensemble de nombres : Ensemble des nombres réels (R)
Les ensembles de nombres – (Inventaire)

Infini : Moins l’infini (−∞) – Plus l’infini (+∞)
Intervalle : Borne d’un intervalle (a ou b) – Intervalle fermé, fermé borné, ouvert, semi-ouvert – Continuité d’un intervalle – Union d’intervalle

Les mathématiques (domaine) – (Rubrique/Inventaire)
Mathématique (adjectif) : Glossaire mathématique (rubrique)

Moins l’infini (−∞)

Nombreréel – (Inventaire)
|La diversité des nombres – (Inventaire)

Plus l’infini (+∞)
Segment de droite : Extrémités d’un segment

Union (∪), d’intervalle

Documentation (liens externes) :

Intervalle (mathématiques) – Page WikipédiaIntervalles réels – La taverne de l’Irlandais

(Cours) Intervalles dans l’ensembles des nombres réels – Wikiversité

Sources & Outils :

Википедия – educastream.com – Google FranceGoogle TraductionQwantLe Robert-Dixel MobileLa taverne de l’Irlandais – Wikipedia维基百科 – Wikipedia (ES)WikipédiaWikiversité – WordPress.com

Les ensembles de nombres

Mode de classification permettant de regrouper les différentes sortes de nombres dans différents ensembles remarquables. {ne pas confondre avec corps de nombres}

Symbole : Lettres avec des double-barres
Appelé aussi : Ensembles remarquables – Familles de nombres
Anglais : Number system
Espagnol : Los conjuntos de números
Chinois : 數系 (shù xì) 數 (nombre)
Russe : Множества чисел (mnozhestva chisel)

 

(via Pixelmator) Les ensembles de nombres - cartesmentalesdys - WordPress.com

Les ensembles (ordre croissant et inclusif) : Entiers naturels (positifs – N), entiers relatifs (négatifs – Z), décimaux (à virgules, D), premiers (P), rationnels (fractions – Q), irrationnels (Q’), réels (R), complexes (C) 
Suite (d’inclusions croissante) :
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C {⊂ : appartient à}

Irrationnels - Wikimedia Commons

Domaines : Ensembles, mathématiques, nombres


Les fiches-clées :

– ⋀ (conjonction) – ⋁ (disjonction) – ∅ (ensemble vide) – ∪ (union) – ∩ (intersection)

Algèbre – (Rubrique)

Arithmétique (domaine) – (Rubrique/Inventaire)
Arithmétique (adjectif) : Glossaire arithmétique (rubrique)

Corps de nombre : Extension finie d’un corps
Droite, numérique : Abscisse d’un point sur une droite – Point d’une droite

Ensemble (mathématique)
Ensemble des nombres algébriques, constructibles, en extension, entiers naturels, entiers relatifs, décimaux, irrationnels, premiers, rationnels, réels, transcendants – E* – E+ – E – E*+  – Sous-ensemble
Les ensembles de nombres – (Inventaire) : Théorie des ensembles

Intervalles réels (sous-ensembles de R)

Nombredécimal, entier, entier naturel, entier négatif, entier opposé, entier positif, entier relatif, premier, rationnel, réel, réel positif – Les nombres (fiche)
|La diversité des nombres – (Inventaire)Les nombres entiers – Structures de nombres

Opération arithmétique
Le paradoxe de Russell (histoire)
Réciproque
Suite d’inclusions croissante

Transcendant
|Les nombres transcendants

Chercheurs/Spécialistes :

… Russell (…) – (Rubrique)

Documentation (liens externes) :

Ensemble de nombres – page Wikipédia

(Cours) Exercice : Ensembles – Wikiversité
(Cours – vidéos) Les ensembles de nombres – Youtube – Ensembles et applications – Youtube

Sources & Outils :

cartesmentalesdys –  Exo7Math (Youtube) – Google FranceGoogle TraductionCorinne Huet (Youtube) – La taverne de l’Irlandais – Le Robert-Dixel MobilePixelmator (outil, mac-os) – QwantWikimedia Commons – Wikipedia维基百科 – WikipédiaWikiversité – WordPress.com – YouTube

Ensemble des nombres Rationnels

Ensemble de fractions de la forme a/b où numérateur et dénominateur sont des entiers et le dénominateur non nul.

Symbole : ℚ (quotient)
Appelé aussi : Corps des rationnels – Ensemble des rationnels – Borne inférieure de R (ensemble des nombres réels) – Sous-ensemble des nombres réels
Anglais : Set of rational numbers
Espagnol : Conjunto de números racionales
Chinois : 设置有理数 (shèzhì yǒulǐshù) 有理数 (nombre rationnel) 数 (nombre)
Russe : Множество рациональных чисел (mnozhestvo ratsional’nykh chisel) Рациональных чисел (nombres rationnels)

Les nombres rationnels - Allô prof ? - alloprof.biz

Les nombres rationnels peuvent avoir une écriture décimale infinie, mais dans ce cas elle est toujours périodique . Les nombres décimaux (ensemble D) sont des nombres rationnels qui se cachent . L’ensemble des décimaux (y compris entiers naturels, entiers relatifs) est inclus dans Q.

Le corps des nombres rationnels ne vérifie pas la propriété de la borne supérieure (Ensemble des nombres réels, R) . Par contre on peut plonger Q dans un corps plus grand dans lequel cette propriété est vérifiée (R) . Les nombres rationnels forment ainsi un sous-ensemble des nombres réels (R).

Règles : {x ∈ Q tq x2 < 2}
Formules : Z ⊂ Q (l’ensemble des entiers est inclus dans l’ensemble des rationnels) N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ( ⊂ : appartient à)

Domaines : Arithmétique, ensembles, mathématiques, nombres (rationnels) 


Les fiches-clées :

Appartient à ( ⊂ )
Dénominateur, non nul

Ensemble (mathématique – E), des nombres décimaux (D), des entiers (Z) / naturels (N) / relatifs (Z), des nombres réels (R)
Les ensembles de nombres – (Inventaire)

Fraction – (Rubrique)

Nombre : Écriture décimale d’un nombre – Écriture décimale périodique d’un nombre – Nombre décimal, entier naturel, entier relatif, irrationnel, rationnel, réel
|La diversité des nombres – (Inventaire) : Les nombres entiers

Numérateur – (Rubrique)

Quotient

Documentation (liens externes) :

Les nombres rationnels (Q) – Allô prof ?

Sources & Outils :

alloprof – ECOSIA – Google FranceGoogle Traduction – Le Robert-Dixel MobileLa taverne de l’Irlandais – Qwant – Wikiversité – WordPress.com

Ensemble des nombres décimaux

Comprend tous les nombres (négatifs ou positifs) s’écrivant avec un nombre fini et non nul de chiffres après la virgule.

Symbole : 𝔻 (décimaux)
Anglais : Sef of decimal numbers
Espagnol : Conjunto de números decimales
Chinois : 所有小数 (suǒyǒu xiǎoshù) 有小数 (fractionnaires)
Russe : Множество десятичных чисел (mnozhestvo desyatichnykh chisel) Десятичных чисел (nombres décimaux)

Nombres décimaux - educastream.com

Les entiers relatifs sont aussi des décimaux (N ⊂ Z ⊂ D).

Domaines : Arithmétique, ensembles, mathématiques, nombres (décimaux)


Les fiches-clées :

Appartient à ( ⊂ )

Arithmétique (domaine) – (Rubrique/Inventaire)
Arithmétique (adjectif) : Glossaire arithmétique (rubrique)

Décimal (adjectif) : Décimale – Système décimal

Ensemble des entiers relatifs (Z)

Nombredécimal, entier relatif, fini, non nul
|La diversité des nombres – (Inventaire)

Système décimal
Virgule (linguistique)

Sources & Outils :

educastream.com – Google FranceGoogle TraductionLa taverne de l’Irlandais – Le Robert-Dixel Mobile – QwantWikipédiaWikiversité – WordPress.com

Ensemble des entiers relatifs

Comprend tous les nombres entiers positifs (naturels), négatifs (N) ou nul.

Symbole : ℤ (de l’allemand die Zahl, signifiant le nombre)
Appelé aussi : Ensemble des nombres entiers
Anglais : All integers
Espagnol : Todos los números enteros
Chinois : 所有整数 (suǒyǒu zhěngshù)
Russe : Все целые числа (vse tselyye chisla)

Entier relatif - educastream.com

Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs . L’ensemble N est inclus dans l’ensemble Z (N ⊂ Z).

Domaines : Arithmétiques, ensembles, mathématiques, nombres


Les fiches-clées :

Arithmétique (domaine) – (Rubrique/Inventaire)
Arithmétique (adjectif) : Glossaire arithmétique (rubrique)

Ensemble (mathématique)
L’ensemble des entiers naturels (N)
Les ensembles de nombres – (Inventaire)

Les mathématiques (domaine) – (Rubrique/Inventaire)
Mathématique (adjectif) : Glossaire mathématique (rubrique)

Nombre , entier, entier naturel, entier relatifnégatif, nul, positif
|La diversité des nombres – (Inventaire)Les nombres entiers

Sources & Outils :

educastream.com – Google FranceGoogle TraductionLa taverne de l’Irlandais – Le Robert-Dixel Mobile – Qwant – WikipédiaWikiversité – WordPress.com

Ensemble des entiers naturels

Contient tous les chiffres de base (dont zéro) et les nombres positifs avec zéro pour décimale.

Symbole : ℕ (naturel) – N0 (incluant zéro) – N* ou N1 (n’incluant pas zéro)
Appelé aussi : Ensemble des nombres entiers naturels – (…) nombres naturels
Anglais : Set of natural numbers
Espagnol : Conjunto de números naturales
Chinois : 所有自然数 (suǒyǒu zìránshù – tous les nombres naturels)
Russe : Все натуральные числа (vse natural’nyye chisla – ensemble des nombres naturels)

El conjunto universo de los números reales - vitutor.net - taringa.net

On dit que ces entiers sont naturels car ce sont ceux que l’on utilise naturellement dans la vie de tous les jours . Il existe une infinité d’entiers naturels.

L’ensemble des entiers naturels appartient à l’ensemble des entiers relatifs : N ⊂ Z

Domaines : Arithmétique, ensembles, mathématiques, nombres


Les fiches-clées :

Arithmétique (domaine) – (Rubrique/Inventaire)
Arithmétique (adjectif) : Glossaire arithmétique (rubrique)

Chiffre – (Rubrique/Inventaire)
Les chiffres de base

Décimale
Ensemble des nombres entiers relatifs (Z)
Les ensembles (rubrique)

Nombre, entier positif, entier naturel, entier relatif
|La diversité des nombres – (Inventaire)

Zéro

Sources & Outils :

Google FranceGoogle Traduction – Le Robert-Dixel MobileTaringa! – La taverne de l’Irlandais – Vitutor – WikipédiaWikiversité – WordPress.com

Les nombres entiers

Nombre sans développement décimal : dont l’écriture décimale ne nécessite pas l’usage d’une virgule suivie d’un chiffre ou plus . Regroupe tous les nombres entiers relatifs (naturels, négatifs, positifs).

Symbole : ℤ (entier relatif)
Anglais :
 Integers – Whole numbers
Espagnol : Números enteros
Chinois : 整数 (zhěngshù – entiers)
Russe : Целые (tselyye) – Целое число (tseloye chislo – nombre entier)

Les nombres entiers - Mathématiques 106

Sur une droite numérique, un nombre entier situé à droite d’un autre nombre est toujours plus grand . Chaque nombre entier possède son opposé . Zéro est son propre opposé.

Domaines : Mathématiques, nombres (entiers)


Les fiches-clées :

Chiffre
Les chiffres (rubrique)

Décimal (adjectif) : Développement décimal – Écriture décimale
Droite, numérique

Nombre, entier naturel, entier négatif, entier positifentier relatif
|La diversité des nombres – (Inventaire) – Ensemble des nombres entiers naturels, entiers négatifs (Z-), entiers positifs (Z+), entiers relatifs

Opposés
Virgule

Chercheurs/Spécialistes/Enseignants :

… Kronecker (mathématicien allemand) – (Rubrique)

Documentation (liens externes) :

(Cours) Les nombres entiers – lelivrescolaire.fr

Sources & Outils :

维基百科BestDict-FrenchВикипедияGoogle FranceGoogle Traductionjeando.voila.netiMédia Thèque – lelivrescolaire.fr – Le Robert-Dixel Mobile – Mathématiques 106Qwant – WikipediaWikipedia (ES)WikipédiaWikiversitéWiktionnaire – WordPress.com

Ensemble des nombres Réels

Ensemble des nombres dont le développement décimal est infini et non nécessairement périodique, qui regroupe tous les nombres rationnels (décimaux, entiers relatifs et naturels) et tous les nombres irrationnels, tel que Pi, et englobe ainsi tous les nombres qui peuvent se placer sur une droite graduée.

Symbole : ℝ
Appelé aussi : Corps des réels – Borne supérieure de Q (ensemble des nombres rationnels) – Super-ensemble (histoire) 
Anglais : Set of real numbers – Real number (nombre réel)
Espagnol : Reales – Número real (nombre réel)
Chinois : 实数集 (shíshù jí) 实数 (shíshù – réel)
Russe : Множество действительных чисел (mnozhestvo deystvitel’nykh chisel) Вещественное число (veshchestvennoye chislo – nombre réel)

Числовая прямая - Real number line - Phrood - Thenub314 - Wikimedia Commons
C’est un corps totalement ordonné, qui est muni des quatre opérations arithmétiques satisfaisant les mêmes règles que celles sur les fractions et ces opérations sont compatibles avec la relation d’ordre . Mais il satisfait en plus la propriété de la borne supérieure qui fonde l’analyse réelle . C’est aussi le dernier corps archimédien (selon David Hilbert).

Un ensemble R est représenté par une droite graduée (droite numérique) . Tout point de cette droite a pour abscisse un nombre réel . Tout nombre réel est l’abcisse d’un point de cette droite.

Ensembles : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ( ⊂ : contenu dans)
Histoire :
 Divers problèmes géométriques ont amené à considérer de nouveaux nombres comme Racine carré de 2 (√2) . Le premier d’entre eux est la longueur de l’hypothénuse d’un triangle rectangle isocèle de côté 1 . Le second est le périmètre d’un cercle de diamètre 1 . On démontra que ces deux nombres n’étaient pas des nombres rationnels . Par conséquent, on créa un super-ensemble contenant tous les nombres mesurables ainsi que leurs opposés : L’ensemble des nombres réels.

Domaines : Ensembles, mathématiques, nombres


Les fiches-clées :

Abscisse
Appartient à (∈) – N’appartient pas à (∉)

Borne : Propriété de la borne supérieure

Contenu dans ( ⊂ )
Corps (mathématique) – (Inventaire), archimédien, totalement ordonné

Droite – (Rubrique/Inventaire), graduée, numérique

Ensemble (mathématique) – (Inventaire)
Les ensembles de nombres – (Inventaire) : Ensemble des nombres décimaux (D), entiers, entiers naturels (N), entiers relatifs (Z), irrationnels (I)rationnels (Q)

Fraction – Intervalles réels

Nombre : Développement décimal d’un nombre – Développement décimal périodique d’un nombre – Nombre e (constante), irrationnel, pi (Pi, π), rationnelréel , réel positif (nombre mesurable)
|La diversité des nombres – (Inventaire) : Les nombres entiers

Opération arithmétique
Point

Racine carré de 2 (√2)
Relation d’ordre

Valeur, approchée, exacte : Arrondi – Troncature

Chercheurs/Spécialistes :

David Hilbert (…) – (Rubrique)

Documentation (liens externes) :

Les nombres réels (R) – allô prof – L’Ensemble des nombres réels – jeando.voila.net (PDF)

(Cours) Ensemble des nombres réels et sous-ensembles – Wikiversité – Intervalles dans l’ensemble des nombres réels – Wikiversité

Sources & Outils :

维基百科Allô prof – ВикипедияGoogle FranceGoogle Traductionjeando.voila.net – La taverne de l’IrlandaisLe Robert-Dixel MobileNotes (iOS) – Prood (Wikimedia Commons) – Qwant – Thenub314 (Wikimedia Commons) – Wikimedia Commons – WikipediaWikipedia (ES)WikipédiaWikiversité – WordPress.com