Élément (mathématiques)

Un des objets qui constituent un ensemble . Du latin elementum.

Symbole : ∈ (est élément de)
Appelé aussi : Élément mathématique – (attention à ne pas confondre avec : Les éléments de mathématiques) – Appartenance
Anglais : Element (mathematics)
Espagnol : Elemento de un conjunto (élément d’un ensemble)
Chinois : 元素 (數學) {yuánsù shùxué – élément mathématiques}
Russe : Множество (mnozhestvo – appartenance)

Est un élément de symbole mathématique Icon gratuit - fr.freepik.com

Domaines : Géométrie, logarithmes, mathématiques


Cf. les fiches-clées :

Appartenance – Classe – Ensemble – (Inventaire)

Élément (glossaire scientifique) – Éléments (inventaire) – Éléments d’Euclide (traité)

Géométrie – (Rubrique) – Traitement axiomatique, systématique de la géométrie
Logarithme – (Rubrique)
Mathématique – Mathématiques – (Rubrique)
Objet mathématique – (Inventaire) – Relation entre deux objets mathématiques

(Chercheurs) Nicolas Bourbaki (1940)Euclide (300 AVJC)
(Linguistique)
 Élément formant – (Inventaire)

(Osmos) Élément (physique) – Élément (matière) – Élément (chimie) 

Documentation (liens externes) :

Appartenance (mathématiques) – Wikipédia

(Ouvrages) Éléments d’Euclide – Traité mathématique et géométrique – Wikipédia – Éléments de mathématique – Traité de mathématiques du groupe Nicolas Bourbaki – Wikipédia

Sources :

维基百科 – Википедия – Encyclopædia Universalis – Éduscol – freepik – Google FranceGoogle TraductionQwantLe Robert-Dixel MobileWikipediaWikipedia (ES)Wikipédia

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Ensemble

Collection d’objets (mathématiques ; éléments), la réunion de ces éléments en un tout (régit par des axiomes, des propriétés).

Du latin insimul (en même temps), de in- et simul (à la fois).
Prononciation (phonétique) : ɑ̃sɑ̃bl

Abréviation / Symbole : M
Anglais : Set (mathematics)
Espagnol : Conjunto
Chinois : 集合 (数学) {jíhé (shùxué) – ensemble (mathématiques)}
Russe : Множество (mnozhestvo – beaucoup)

Venn diagram - Cepheus - Wikimedia Commons

Un élément (m) d’un ensemble (M) est dit appartenir (∈) à cet ensemble (théorie des ensembles, approche axiomatique) . Un ensemble désignant un objet du domaine de la théorie des ensembles, dont les axiomes régissent les propriétés . Tout objet mathématique étant un ensemble . La notion d’ensemble est une notion de base qui intervient dans quasiment tous les domaines mathématiques.

Origine : Formulé par le mathématicien Georg Cantor 
Histoire :
La théorie des ensembles est la fondation des mathématiques.

Domaines : Ensembles, mathématiques, nombres


Les fiches-clées :

(appartenir à)

Appartenance (notion)

Axiome (mathématique)
Axiomatique (adjectif) : Approche axiomatique

Ensembles (rubrique) : Les ensembles de nombres – Théorie des ensembles – Théorie naïve des ensembles

Élément (mathématique) : Élément d’un ensemble
Fondements des mathématiques – Objet (mathématique) – Propriété (mathématique)

Chercheurs/Spécialistes :

Georg (Ferdinand Ludwig Philipp) Cantor (mathématicien) – (Rubrique) – Ernst (Friedrich Ferdinand) Zermelo (mathématicien allemand) – (Rubrique)

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

Sources & Outils :

Википедия – Cepheus (Wikimedia Commons) – Google FranceGoogle TraductionLe Robert-Dixel MobileQwantWikimedia CommonsWikipediaWikipedia (ES)维基百科 – WikipédiaWiktionnaire – WordPress.com

Les nombres

Souvent écrits à l’aide d’un ou plusieurs chiffres, les nombres interagissent par le biais d’opérations qui sont résumées par des règles de calcul . Les propriétés de ces relations entre les nombres sont l’objet d’étude de l’arithmétique, qui se prolonge avec la théorie des nombres.

Abréviation : Num.
Anglais : Numbers
Espagnol : Números
Chinois : 号码 (hàomǎ)
Russe : Чисел (chisel)

Mandala - Famille Nombres - Mathelot - Blogspot.com

Les mathématiques proposent plusieurs types de nombres pour exprimer des mesures physiques, résoudre des équations, voire pour appréhender l’infini . En physique, les grandeurs sans dimension sont souvent appelées nombres, tels le nombre de Reynolds en mécanique des fluides ou les nombres quantiques.

Domaines : Arithmétique, mathématiques, nombres


Les fiches-clées :

Arithmétique
Arithmétiques (rubrique)

Équation : Résoudre une équation
Infini : Appréhender l’infini

Nombre, cardinal, concret, d’or, décimal, ordinal, premier

Les nombres (inventaire) : L’ensemble des nombres – Écriture des nombres – Les ensembles de nombresNature des nombres – Nombres algébriques, imaginaires, irrationnels – Les nombres entiers – Relation entre deux nombres – Théorie des nombres – Types de nombres

Opération

Relation mathématique
Relations d’inclusion entre les ensembles de nombres

Règles de calcul

Théorie des ensembles

Ailleurs dans le site :

(osmos – Physique) Grandeurs (rubrique) – L’infini – L’espace infini – L’Univers est-il limité ? – Mesures physiques – Mécanique des fluides – Nombre de Reynolds, quantique – Physicien – (Rubrique) – (Inventaire) – Physique (rubrique/inventaire) – Physique (adjectif)Glossaire physique (rubrique) – Physique quantique (rubrique) – Réaliser une mesure physique
(Ose) Art – (Rubrique) – Emploi du nombre d’or

Documentation (liens externes) :

(Cours) La nature des nombres – lelivrescolaire.fr

Sources & Outils :

Википедия – Google FranceGoogle Traductionlelivrescolaire.fr – Mathelot – Le Robert-Dixel MobileQwantWikipediaWikipedia (ES)Wikipédia – WordPress.com

Intervalles réels

Sous-ensembles (parties) de l’ensemble des nombres réels (R).

Symbole : A ∪ B (union de A et de B)
Appelé aussi : Sous-ensembles de R – Parties de l’ensemble R – Intervalles continus
Anglais : Interval (mathematics)
Espagnol : Intervalo (matemática)
Chinois : 區間 (qūjiān – ensemble)
Russe : Промежуток (математика) [promezhutok (matematika)]

Intervalles - Educastream.com

Un intervalle réel est continu, le chemin entre deux éléments de cet intervalle reste dans celui-ci . Il est représenté sur une droite numérique sous la forme d’un segment de droite (dont les extrémités peuvent être exclues) . Un intervalle peut être ouvert, semi-ouvert, fermé borné par des crochets (ouvrant et/ou fermant) positionnés aux extrémités de cet intervalle appelées bornes a et b . Tous les nombres réels x composant le segment de droite délimité par ces bornes sont strictement plus grand que a et plus petit que b {a < x < b} . L’ensemble formé par la réunion des éléments de A et de B (ayant pour abscisse a et b) est appelé union de A et de B (A ∪ B).

{Attention de ne pas confondre : [a;b] qui contient une infinité de nombres et {a;b} qui contient 2 nombres}.

Domaines : Ensembles de nombres (réels), mathématiques, nombres


Les fiches-clées :

Borne d’un intervalle (a ou b)

Continuité d’un intervalle
Crochet, fermant, ouvrant

Droite, numérique
Extrémités d’un segment : Segment de droite

Ensemble (mathématique)
Un ensemble de nombres : Ensemble des nombres réels (R)
Les ensembles de nombres – (Inventaire)

Infini : Moins l’infini (−∞) – Plus l’infini (+∞)
Intervalle : Borne d’un intervalle (a ou b) – Intervalle fermé, fermé borné, ouvert, semi-ouvert – Continuité d’un intervalle – Union d’intervalle

Les mathématiques (domaine) – (Rubrique/Inventaire)
Mathématique (adjectif) : Glossaire mathématique (rubrique)

Moins l’infini (−∞)

Nombreréel – (Inventaire)
|La diversité des nombres – (Inventaire)

Plus l’infini (+∞)
Segment de droite : Extrémités d’un segment

Union (∪), d’intervalle

Documentation (liens externes) :

Intervalle (mathématiques) – Page WikipédiaIntervalles réels – La taverne de l’Irlandais

(Cours) Intervalles dans l’ensembles des nombres réels – Wikiversité

Sources & Outils :

Википедия – educastream.com – Google FranceGoogle TraductionQwantLe Robert-Dixel MobileLa taverne de l’Irlandais – Wikipedia维基百科 – Wikipedia (ES)WikipédiaWikiversité – WordPress.com

Les ensembles de nombres

Mode de classification permettant de regrouper les différentes sortes de nombres dans différents ensembles remarquables. {ne pas confondre avec corps de nombres}

Symbole : Lettres avec des double-barres
Appelé aussi : Ensembles remarquables – Familles de nombres
Anglais : Number system
Espagnol : Los conjuntos de números
Chinois : 數系 (shù xì) 數 (nombre)
Russe : Множества чисел (mnozhestva chisel)

 

(via Pixelmator) Les ensembles de nombres - cartesmentalesdys - WordPress.com

Les ensembles (ordre croissant et inclusif) : Entiers naturels (positifs – N), entiers relatifs (négatifs – Z), décimaux (à virgules, D), premiers (P), rationnels (fractions – Q), irrationnels (Q’), réels (R), complexes (C) 
Suite (d’inclusions croissante) :
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C {⊂ : appartient à}

Irrationnels - Wikimedia Commons

Domaines : Ensembles, mathématiques, nombres


Les fiches-clées :

– ⋀ (conjonction) – ⋁ (disjonction) – ∅ (ensemble vide) – ∪ (union) – ∩ (intersection)

Algèbre – (Rubrique)

Arithmétique (domaine) – (Rubrique/Inventaire)
Arithmétique (adjectif) : Glossaire arithmétique (rubrique)

Corps de nombre : Extension finie d’un corps
Droite, numérique : Abscisse d’un point sur une droite – Point d’une droite

Ensemble (mathématique)
Ensemble des nombres algébriques, constructibles, en extension, entiers naturels, entiers relatifs, décimaux, irrationnels, premiers, rationnels, réels, transcendants – E* – E+ – E – E*+  – Sous-ensemble
Les ensembles de nombres – (Inventaire) : Théorie des ensembles

Intervalles réels (sous-ensembles de R)

Nombredécimal, entier, entier naturel, entier négatif, entier opposé, entier positif, entier relatif, premier, rationnel, réel, réel positif – Les nombres (fiche)
|La diversité des nombres – (Inventaire)Les nombres entiers – Structures de nombres

Opération arithmétique
Le paradoxe de Russell (histoire)
Réciproque
Suite d’inclusions croissante

Transcendant
|Les nombres transcendants

Chercheurs/Spécialistes :

… Russell (…) – (Rubrique)

Documentation (liens externes) :

Ensemble de nombres – page Wikipédia

(Cours) Exercice : Ensembles – Wikiversité
(Cours – vidéos) Les ensembles de nombres – Youtube – Ensembles et applications – Youtube

Sources & Outils :

cartesmentalesdys –  Exo7Math (Youtube) – Google FranceGoogle TraductionCorinne Huet (Youtube) – La taverne de l’Irlandais – Le Robert-Dixel MobilePixelmator (outil, mac-os) – QwantWikimedia Commons – Wikipedia维基百科 – WikipédiaWikiversité – WordPress.com – YouTube

Ensemble des nombres Rationnels

Ensemble de fractions de la forme a/b où numérateur et dénominateur sont des entiers et le dénominateur non nul.

Symbole : ℚ (quotient)
Appelé aussi : Corps des rationnels – Ensemble des rationnels – Borne inférieure de R (ensemble des nombres réels) – Sous-ensemble des nombres réels
Anglais : Set of rational numbers
Espagnol : Conjunto de números racionales
Chinois : 设置有理数 (shèzhì yǒulǐshù) 有理数 (nombre rationnel) 数 (nombre)
Russe : Множество рациональных чисел (mnozhestvo ratsional’nykh chisel) Рациональных чисел (nombres rationnels)

Les nombres rationnels - Allô prof ? - alloprof.biz

Les nombres rationnels peuvent avoir une écriture décimale infinie, mais dans ce cas elle est toujours périodique . Les nombres décimaux (ensemble D) sont des nombres rationnels qui se cachent . L’ensemble des décimaux (y compris entiers naturels, entiers relatifs) est inclus dans Q.

Le corps des nombres rationnels ne vérifie pas la propriété de la borne supérieure (Ensemble des nombres réels, R) . Par contre on peut plonger Q dans un corps plus grand dans lequel cette propriété est vérifiée (R) . Les nombres rationnels forment ainsi un sous-ensemble des nombres réels (R).

Règles : {x ∈ Q tq x2 < 2}
Formules : Z ⊂ Q (l’ensemble des entiers est inclus dans l’ensemble des rationnels) N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ( ⊂ : appartient à)

Domaines : Arithmétique, ensembles, mathématiques, nombres (rationnels) 


Les fiches-clées :

Appartient à ( ⊂ )
Dénominateur, non nul

Ensemble (mathématique – E), des nombres décimaux (D), des entiers (Z) / naturels (N) / relatifs (Z), des nombres réels (R)
Les ensembles de nombres – (Inventaire)

Fraction – (Rubrique)

Nombre : Écriture décimale d’un nombre – Écriture décimale périodique d’un nombre – Nombre décimal, entier naturel, entier relatif, irrationnel, rationnel, réel
|La diversité des nombres – (Inventaire) : Les nombres entiers

Numérateur – (Rubrique)

Quotient

Documentation (liens externes) :

Les nombres rationnels (Q) – Allô prof ?

Sources & Outils :

alloprof – ECOSIA – Google FranceGoogle Traduction – Le Robert-Dixel MobileLa taverne de l’Irlandais – Qwant – Wikiversité – WordPress.com

Ensemble des nombres décimaux

Comprend tous les nombres (négatifs ou positifs) s’écrivant avec un nombre fini et non nul de chiffres après la virgule.

Symbole : 𝔻 (décimaux)
Anglais : Sef of decimal numbers
Espagnol : Conjunto de números decimales
Chinois : 所有小数 (suǒyǒu xiǎoshù) 有小数 (fractionnaires)
Russe : Множество десятичных чисел (mnozhestvo desyatichnykh chisel) Десятичных чисел (nombres décimaux)

Nombres décimaux - educastream.com

Les entiers relatifs sont aussi des décimaux (N ⊂ Z ⊂ D).

Domaines : Arithmétique, ensembles, mathématiques, nombres (décimaux)


Les fiches-clées :

Appartient à ( ⊂ )

Arithmétique (domaine) – (Rubrique/Inventaire)
Arithmétique (adjectif) : Glossaire arithmétique (rubrique)

Décimal (adjectif) : Décimale – Système décimal

Ensemble des entiers relatifs (Z)

Nombredécimal, entier relatif, fini, non nul
|La diversité des nombres – (Inventaire)

Système décimal
Virgule (linguistique)

Sources & Outils :

educastream.com – Google FranceGoogle TraductionLa taverne de l’Irlandais – Le Robert-Dixel Mobile – QwantWikipédiaWikiversité – WordPress.com