Élément (mathématiques)

Un des objets qui constituent un ensemble . Du latin elementum.

Symbole : ∈ (est élément de)
Appelé aussi : Élément mathématique – (attention à ne pas confondre avec : Les éléments de mathématiques) – Appartenance
Anglais : Element (mathematics)
Espagnol : Elemento de un conjunto (élément d’un ensemble)
Chinois : 元素 (數學) {yuánsù shùxué – élément mathématiques}
Russe : Множество (mnozhestvo – appartenance)

Est un élément de symbole mathématique Icon gratuit - fr.freepik.com

Domaines : Géométrie, logarithmes, mathématiques


Cf. les fiches-clées :

Appartenance – Classe – Ensemble – (Inventaire)

Élément (glossaire scientifique) – Éléments (inventaire) – Éléments d’Euclide (traité)

Géométrie – (Rubrique) – Traitement axiomatique, systématique de la géométrie
Logarithme – (Rubrique)
Mathématique – Mathématiques – (Rubrique)
Objet mathématique – (Inventaire) – Relation entre deux objets mathématiques

(Chercheurs) Nicolas Bourbaki (1940)Euclide (300 AVJC)
(Linguistique)
 Élément formant – (Inventaire)

(Osmos) Élément (physique) – Élément (matière) – Élément (chimie) 

Documentation (liens externes) :

Appartenance (mathématiques) – Wikipédia

(Ouvrages) Éléments d’Euclide – Traité mathématique et géométrique – Wikipédia – Éléments de mathématique – Traité de mathématiques du groupe Nicolas Bourbaki – Wikipédia

Sources :

维基百科 – Википедия – Encyclopædia Universalis – Éduscol – freepik – Google FranceGoogle TraductionQwantLe Robert-Dixel MobileWikipediaWikipedia (ES)Wikipédia

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Vecteur (sens large)

Élement (géométrique et algébrique) d’un espace vectoriel.

Du latin vector, dérivé de veho (transporter), de l’indo-européen *VAG (chariot).

Abréviation / Symbole : →
Anglais : Euclidean vector – Vector
Espagnol : Vector
Chinois : 矢量 (shǐliàng) 矢 (flèche) 量 (notion de quantité)
Russe : Вектор (геометрия) {vektor (geometriya)}

Espace vectoriel - Prépas Dupuy de Lôme

Un vecteur est définie par une direction, un sens et un module et représenté (comme un simple n-uplet) ou graphiquement par un segment orienté (flèche) ayant pour extrémités un point de départ et un point d’arrivée . La droite qui relie, ou parcourt, ces points est la direction du vecteur . Un vecteur à un sens, du point d’origine vers le point d’arrivée.

Un vecteur permet d’effectuer des opérations d’addition et de multiplication (par un scalaire) . Un vecteur est un tenseur d’ordre un.

Histoire : Auparavant et jusqu’au XVIe siècle le mot vecteur désignait le conducteur d’un véhicule, d’un bateau . Ce mot est repris dans le domaine scientifique vers le XVIIIe siècle en particulier en astronomie, en 1844 un mathématicien anglais introduit le mot vector dans son sens mathématique, et celui-ci revient finalement en France au début du XXe siècle.

Domaines : Algèbre, espaces (vectoriel), géométrie, mathématiques, vecteurs


Les fiches-clées :

Algèbre linéaire (rubrique), multilinéaire – Application linéaire – Astronomie (rubrique) – Bipoint – Caractérisation d’un élement spatio-vectoriel, d’un objet mathématique – Courbe
Dimension
Dimension 2 : Plan
Dimension 3 : Espace euclidien usuel

Direction
Droite

Espace multidimentionnel
Élement algébrique, géométrique, mathématique
Équation différentielle
Équipollence

Forme linéaire, trinomiale (ix + jy + kz)

Géométrie (rubrique) : Construction axiomatique de la géométrie – Géométrie euclidienne, projective, vectorielle
Grandeur scalaire

Matrice

n-uplet
Nombre complexe

Plan, euclidien
Point, d’arrivée, d’origine, de départ

Quaternion
Scalaire : Produit scalaire

Tenseur, d’ordre deux, d’ordre un
Triplet naturel

vecteur : Bivecteur – Direction d’un vecteur – Norme d’un vecteur (||AB||) – Vecteur de l’espace, du plan, somme
vectoriel : Champ vectoriel – Espace vectoriel – Produit vectoriel – Vectoriel

Chercheurs/Spécialistes :

Lon Battista Alberti (…) – (Rubrique) – Babyloniens (…) – (Rubrique) – Giusto Bellavitis (…) – (Rubrique) – Bernard Bolzano (…) – (Rubrique) – Filippo Brunelleschi (artiste peintre) – (Rubrique) – Michel Chasles (…) – (Rubrique) – William Kington Clifford (…) – (Rubrique) – René Descartes (…) – (Rubrique) – Euclide (…) – (Rubrique) – Piero della Francesca (peintre et mathématicien) – (Rubrique) – William Rowan Hamilton (…) – (Rubrique) – David Hilbert (…) – (Rubrique) – Qin Jiushao (chinois) – (Rubrique) – Pierre-Simon de Laplace (…) – (Rubrique) – Omar Khayyam (…) – (Rubrique) – Ulrich Libbrecht (…) – (Rubrique) – August Ferdinand Möbius (…) – (Rubrique) – Jean-Victor Poncelet (…) – (Rubrique) – Giorgio Vasari (…) – (Rubrique)

Ailleurs dans le site :

(Ophys) Vecteur (Biologie) – Vecteur (Génétique)
(Osmos) Centre de masse (Barycentre) – Coordonnées barycentriques – Dioptriques – Rayon vecteur – Vecteur (physique)
(Oseco) Vecteur (agriculture)
(Ose) Image matricielle, vectorielle – Vecteur (programmation informatique)

Documentation (liens externes) :

Page WikipédiaHistoire – Wikipédia

Sources & Outils :

Википедия – Dupuy De Lôme – Classes préparatoires – Google FranceGoogle TraductionLe Robert-Dixel MobileQwantWikipediaWikipedia (ES)维基百科 – WikipédiaWiktionnaire – WordPress.com

Les dimensions

(définition de l’auteur du site) Variété des différentes échelles de dimensions qui se voient ajouter tour à tour une direction supplémentaire (et obéir à de nouvelles lois en physique).

Anglais : Dimensions
Espagnol : Las dimensiones
Chinois : 維度 (wéidù) 維 (dimension) 度 (notion d’échelle)
Russe : Размеры (razmery)

A diagram of the frist four spatial dimensions - Kelvinsong – Dimension levels - Wikipedia Commons

Les dimensions : La dimension zéro (le point), la dimension une (cercle, droite, une abscisse), deux (deux nombres, plan, sphère, une ordonnée), trois (volume, x,y,z), quatre (nombre complexe, x,y,z,t), cinq
Outils mathématiques : Calculateur, droite numérique, équerre, géométrie algébrique, inversion, nombres complexes, ordinateur, projection stéréographique, rapporteur, règle, tableau noir, transformations

Domaines : Dimensions, géométrie


Les fiches-clées :

Absisse (x, dimension 1)
Algèbre commutative
Arithmétique complexe

Calculateur
Cercle (dimension 1)
Concept
Courbe, de von Koch

Deux nombres (dimension 2)
Démonstration mathématique (glossaire mathématique)

Dimension (concept), 1, 2, 3, d’un espace vectoriel, d’une variété différentiable, d’une variété topologique, fractale, topologique
Dimension 4 : Voir en dimension 4
Dimension 5 : Dimensions d’un graphe

Direction
Droite (dimension 1) – Droite complexe, numérique, projective complexe
Dynamique holomorphe

Espace, de dimension 4, tridimensionnel (dimension 3)
Échelle
Équerre

Fibration
FlatLand (ouvrage – edmin abbott)

Géométrie algébrique
Graphe, de Möbius-Kantor

Image fractale
Inversion

Latitude
Longitude

Nombre, complexe
Nombres complexes

Ordonnée (y, dimension 2)
Origine

Plan (dimension 2)
Point (dimension zéro) : Abscisse d’un point – Ordonnée d’un point – Un point (dimension zéro)
Polyèdre
Polyèdres de Schläfli, régulier

Projection
Projection stéréographique : Théorème sur la projection stéréographique

Racine carrée, d’un nombre négatif
Rapporteur
Règle

Section
Sphère (dimension 2)
Sphère de Riemann, S1, S2, S3 (dimension 4)

Solide
Les cinq solides de Platon

Surface
Surfaces de Riemann

Tangente
Tore
Transformer un plan – Transformation
Tridimentionnalité – Volume – w
x, y, z (dimension 3) – x, y, z, t (dimension 4) – x, y, z, w

Chercheurs, spécialistes, enseignants, vulgarisateurs :

Edmin Abbott (XIXe – pasteur anglais) – (Rubrique) : FlatLand (ouvrage)
… Copernic (…) – (Rubrique) – … Descartes (…) – (Rubrique) – Adrien Douady – M.C. Escher (…) – (Rubrique) – Euclide (Εὐκλείδης) (mathématicien de la grèce antique) – (Rubrique) – Étienne Ghys – Kurt Gödel – … Hipparque (…) – (Rubrique) – Heinz Hopf – Jos Leys (informaticien) – Bernard Riemann – … Platon (…) – (Rubrique) – … Ptolémée (…) – (Rubrique) – Ludwig Schläfli (…) – (Rubrique) – von Koch (…) – (Rubrique)

Ailleurs dans le site :

(Ophys) Tomographie

(Osmos) 4ème dimension – 5ème dimension – Astronomie (rubrique) – Compactification – Cosmologie branaire – Dimension enroulée – Les dimensions – Dimensions supplémentaires – L’espace-temps – Géographie – Le temps (t) – Théorie d’Everett, de Kaluza-Klein, des supercordes – Vitesse supraluminique – Volume

(ose – Art) Anamorphose – M.C. Escher
(ose – Cinéma) 4ème dimension – 
(ose – Informatique)
Calculateur – Glossaire informatique (rubrique) – Informatique (rubrique) – Ordinateur – (Rubrique)
(ose – Musique) J. S. Bach

Documentation (liens externes) :

Dimensions – dimensions-math.org – Dimensions supplémentaires – Wikipédia

(Vidéos)
 Dimensions – dimensions-math.org –  Dimensions en français – Jos Leys – Playlist Youtube

Sources & Outils :

BestDict-Spanish – Dimensions – Sophie Elovution (Youtube) – Google FranceGoogle TraductionÉtienne Ghys – Jos Leys (Youtube)Kelvinsong (Wikimedia Commons)Le Robert-Dixel Mobile – QwantWikimedia Commons – 维基百科 – Wikipédia – YouTube

Dimension

Nombre de directions indépendantes (chacune des directions d’un espace orthonormé et cardinal d’une base d’un espace vectoriel).

Du latin dimensio, de dimetiri (mesurer en tous sens).
Prononciation (phonétique) : dimɑ̃sjɔ̃

Anglais : Dimension
Espagnol : Dimensión
Chinois : 維 (wéi) 維度 (wéidù – dimensions)
Russe : Размерность пространства (razmernost’ prostranstva – dimension de l’espace)

Square cube tesseract .png – Andeggs – Wikimedia commons

Domaines : Dimensions, géométrie, mathématiques


Les fiches-clées :

Algèbre – (Rubrique/Inventaire), commutative
Cardinal, commun, d’une base d’un espace vectoriel

Diamètre – (Rubrique)

Les dimensions

Direction
Distance (mathématiques) – (Rubrique)

Espace – (Rubrique/Inventaire), ortonormé, vectoriel (notion mathématique) / réel

Géométrie – (Rubrique), algébrique
Géométrique (adjectif)Glossaire géométrique (rubrique)

Graphe

Longueur

Sens
Surface – (Rubrique)

Taille

Vecteur (sens large) – (Rubrique)
Volume (géométrie) – (Rubrique)

Ailleurs dans le site :

(Ophys) Sens haptique

(osmos – Physique) Dimension, d’un espace vectoriel, d’une grandeur physique – Grandeur physique – Physicien – (Rubrique) – (Inventaire) – Physique (rubrique/inventaire) – Physique (adjectif)Glossaire physique (rubrique) – Système international

(ose – Informatique) Glossaire informatique (rubrique) – Informatique (rubrique) – Modélisation informatique – Objet 2D, 3D

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

Sources & Outils :

Andeggs (Wikimedia Commons) – ВикипедияGoogle FranceGoogle TraductionQwantLe Robert-Dixel MobileWikimedia CommonsWikipediaWikipedia (ES)维基百科 – Wikipédia – Wiktionnaire – WordPress.com

Courbure

Mesure quantitative du caractère courbe (plus ou moins courbé) d’un objet géométrique.

De courber, du latin populaire curbare, du latin classique curvare (incurver), de curvus (courbe).
Prononciation (phonétique) : kuʀbyʀ

Anglais : Curvature – Curve (courbe)
Espagnol :
 Curvatura 
Chinois :
曲率 (Qūlǜ)
Russe : Кривизна (Krivizna) 

Selon la courbure de l’espace, on obtient une somme des angles différente - crédit image map nasa - Neamar.fr

Dans un plan euclidien : une ligne droite est un objet à une dimension de courbure nulle, et un cercle un objet de courbure constante positive.
Dans un espace euclidien usuel à trois dimensions : un plan est un objet à deux dimensions de courbure nulle, et une sphère un objet à deux dimensions de courbure constante positive . Un objet en forme de selle de cheval possède au contraire un point de courbure négative.

Selon la courbure de l’espace, on obtient une somme des angles (d’un triangle) différentes ! (cf. théorème de Pythagore qui ne s’applique que dans un espace plan, et théorème d’incomplétude de Gödel).

Domaines : Courbure, géométrie, mathématiques, mécanique


Les fiches-clées :

Cercle
Courbe (C)
Courbure constante, d’un arc, d’un arc plan, d’une surface de R3, d’une variété riemanienne, de Gauss, moyenne, négative, nulle, positive, principale, scalaire (de Ricci), sectionnelle, totale

Droite : Ligne droite
Espace à trois dimensions, euclidien, métrique
Géométrie riemannienne
Objet (mathématique), à une dimension, géométrique, multidimensionnel

Plan, euclidien
Point, de courbure

Tangente
Tenseur – Tenseur de courbure
Théorème d’incomplétude de Gödel, de Pythagore

Chercheurs/Spécialistes :

… Gauss (theorema egregium) – (Rubrique) – Bernard Riemann (mathématicien) – (Rubrique) –

Ailleurs dans le site :

(Osmos) Courbure de l’espace-temps – Mécanique (rubrique)

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

Sources & Outils :

维基百科 – BestDict-FrenchBestDict-RussianBestDict-Spanish – ВикисловарьDictionnaire Espagnol-Français Larousse – Google FranceGoogle TraductionNeamar – QwantLe Robert-Dixel MobileWikipédiaWiktionary – Wiktionnaire – WordPress.com – WMAP Highlights – Nasa

Espace métrique

Ensemble (espace abstrait, non vide, e), au sein duquel la notion de distance (application d) est définie entre les éléments composant cet ensemble (points) . Généralisation de la notion intuitive de distance dans le plan et l’espace euclidiens (produit scalaire) . Les propriétés topologiques d’un tel espace ne sont pas directement définies à partir d’un ensemble d’ouverts (topologique), mais à partir d’une application nommée distance (métrique), qui permet de donner un rôle plus important à l’intuition géométrique . L’espace métrique est un cas particulier d’espace topologique et historiquement la première structure topologique.

Symboles : M – (E, d) {E, est un ensemble et d, une distance sur E … l’ensemble E muni de sa métrique}
Appelé aussi :
Espace R
Anglais : Metric space
Espagnol : Espacio métrico
Chinois : 度量空间 (Dùliàng kōngjiān)
Russe : Метрическое пространство (Metricheskoye prostranstvo)
(via Pixelmator) Espace métrique - Olivier Hartmanshenn - blog - L'OBS - Google Images

On appelle espace métrisable un espace topologique homéomorphe à un espace métrique (correspondance).

Définition mathématique (3 axiomes ou propriétés) :
Soit E un ensemble (non vide) . Une application d : E x E → R+ est appelée distance sur E (ou métrique sur E) si les points (axiomes, propriétés) suivants sont vérifiés (pour tout x, y, z, de E) :
1) d(x,y) ≥ 0 {pour tout couple d’éléments (x,y) de E}
2) d(x,y) = 0 ⇔ x = y {relation équivalente à} {axiome de séparation}
3) d(x,y) = d(y,x) {pour tout couple d’éléments de E} {symétrie de d}
4) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) {∀ (x,y,z) ∈ E×E×E} {inégalité dite du triangle, ou triangulaire}

Origine : Maurice Fréchet (normalien, mathématicien)
Histoire : L’espace métrique est historiquement la première structure topologique
Classe d’homéomorphie : Espace topologique (cas particulier)
Classe d’isométrie : Notion de distance entre deux points.
Exembles : Le plan non-euclidien, la sphère, etc.

Domaines : Espace métrique, géométrie, topologie


Les fiches-clées :

(quel que soit) – δ (delta) – ∈ (appartient à)
δ-hyperbolique

(quel que soit)
Application géométique

Axiome de séparation
Axiomes d’Euclide

Bijection
Boule fermée, ouverte

Calcul différentiel

Classe, d’homéomorphie, d’isométrie

Courbe – (Rubrique/Inventaire), de Jordan
Courbure

δ (delta)
δ-hyperbolique

d-uplet

Déformation continue
Dimension euclidienne
Distance (d), Distance dans l’espace, le plan, R – Écart
Droite

(appartient à)

… ensemble :  Les éléments d’un ensemble – Sous-ensemble
Ensemble (mathématique – E), convexe, dénombrable, non vide, ouvert, R+, vide
Les ensembles de nombres – (Inventaire) : La théorie des ensembles

… espace : Propriétés topologiques d’un espace

Espace (géométrie), (mathématiques), abstrait, affine, courbe, euclidien (à trois dimensions), fermé, hyperbolique

Espace métrique (rubrique), fermé, ouvert, parfait

Espace métrisable, ouvert, perçu – (Rubrique), topologique – (Rubrique), vectoriel

Fonction continue

Généralisation (topologie)
Géodésique

Géométrie – (Rubrique) : Les niveaux de la géométrie
Géométrique (adjectif) : Glossaire géométrique (rubrique), différentielle, euclidienne, euclidienne en dimension 3, hyperbolique (non-euclidienne, de Lobatchevsky), plane élémentaire, sphérique, sphérique-elliptique, usuelle

Les géométries – (Inventaire) : Les géométries de Thurston, multidimensionnelles – Bijection – Déformation continue – Homéomorphisme

Homéomorphisme

Inégalité triangulaire, ultramétrique
Intuition géométrique
Isométrie

La métrique – (Rubrique/Inventaire) : Métrique en dimension 2, euclidienne
Métrique (adjectif) : Espace métrique géodésique

Norme

Plan – (Rubrique/Inventaire), euclidien, non-euclidien
Point
Produit scalaire
Propriété

R+

Sphère
Surface

Topologie – (Rubrique) : Topologie générale –
Topologique (adjectif) : Structure topologique – Transformation topologique (homéomorphie)

Théorèmes (rubrique/inventaire) : Théorèmes d’uniformisation

Uniformisation : Théorèmes d’uniformisation
Uniformiser un cercle par une droite

Volume métrique

Chercheurs, spécialistes, enseignants, vulgarisateurs :

Maurice Fréchet (…) – (Rubrique) – … Hadamard (…) – (Rubrique) – … Volterra (…) – (Rubrique)

Ailleurs dans le site :

(Osmos) Cosmologie – (Rubrique), physique (contemporaine) – Cosmologique (adjectif) – Glossaire cosmologique (rubrique) – Courbure de l’espace-temps – Espace (Univers)Espace-temps – Gravitation quantique – Mécanique classique – Métrique de FLRW (Friedman-Lemaître-Robertson-Walker) – Relativité générale, restreinte – Théories d’unification – (Inventaire) – Topologie cosmique – Univers plat

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

(Cours) Notion d’espace métrique – ChronoMath – Topologie générale : Espace métrique – Wikiversité
(PDF) Introduction aux espaces métriques – LMPT Université de Tours

Sources & Outils :

维基百科 – Academic – Bases de l’analyse mathématique (Licence L2 L3 – Prépas) – ВикипедияBlogs – L’OBS – C&MChronoMathGilles Dubois (professeur)ECOSIA – Léonard Gallardo (LMPT Tours) – Google FranceGoogle images – Google TraductionOlivier Hartmanshenn (blog – L’OBS) – Histoire de la relativité du mouvement – images des Maths – L’île des mathématiquesLMPT Université de Tours – Le Petit Larousse – Le Robert-Dixel MobilePixelmator (outil, mac-os) – QwantWikipediaWikipedia (ES) – Wikipédia – Wikiversité – Wiktionnaire – WordPress.com

Distance (mathématiques)

Application qui formalise l’idée intuitive de distance, c’est à dire la longueur qui sépare deux points.

Du latin distancia, de distans (distant).
Prononciation (phonétique) : distɑ̃s

Abréviation : d
Appelé aussi : Intervalle (temps)
Anglais : Distance – Farness
Espagnol : Distancia
Chinois : 距离 (Jùlí)
Russe : Расстояние (Rasstoyaniye – sens large)

[CGSS] [1A] Geography- Measuring Curved Line distances - Yuan Yi Feng - YouTube

La distance est mathématiquement, sur un ensemble E, une application d définie sur le produit E2 = ExE et à valeurs dans l’ensemble R+ des réels positifs.

À partir de la définition d’une distance, vue comme une application satisfaisant à certains axiomes, d’autres notions de distance peuvent être définies (comme la distance entre deux parties, ou la distance d’un point à une partie) sans que ces dernières répondent à la définition première d’une distance.

Domaines : Distances, mathématiques


Les fiches-clées :

Application (mathématique)
Axiome

Distance algébrique

Distance de Hilbert, Levenshein, de Manhattan, de Minkowski, de Tchebychev, euclidienne, ultramétrique

Distance d’un point à une partie, entre deux ensembles, entre deux permutations, sur un espace vectoriel normé, une sphère

Ensemble (mathématique) – Ensemble E – R+ (ensemble)
Les ensembles (rubrique)Théorie des ensembles

Espace métrique

Formaliser
Glossaire scientifique

Idée intuitive
Intervalle

Partie
Point
Produit

Réel positif

Chercheurs/Spécialistes :

Euclide (Εὐκλείδης) (mathématicien de la grèce antique) – (Rubrique) : Distance euclidienne
David Hilbert (mathématicien allemand) – (Rubrique) : Distance de Hilbert
… Levenshein (…) – (Rubrique) : Distance Levenshein
… Manhattan (…) – (Rubrique) : Distance de Manhattan
… Minkowski (…) – (Rubrique) : Distance de Minkowski
… Tchebychev (…) – (Rubrique) : Distance de Tchebychev

Ailleurs dans le site :

(Osmos) Distances astronomiques – Lecture d’une carte – Longueurs (rubrique)Temps – Unités de distance (rubrique)
(Oseco) Distance morale
(Ose) Application (informatique) – Applications (informatique – rubrique)

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

Sources & Outils :

维基百科 – Википедия – English Articles – Google FranceGoogle Traductionimages des MathsLe Robert-Dixel Mobile – Qwant – Wikipedia – Wikipedia (ES) –  WikipédiaWiktionary – Wiktionnaire – WordPress.com – YouTube