Topologie

Branche des mathématiques qui traite des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures) ; étude des propriétés invariantes dans la déformation géométrique des objets et dans les transformations continues appliquées à des êtres mathématiques.

De topo- et -logie.

Anglais : Topology
Espagnol : Topología
Chinois : 拓扑学 (tàpū xué) 拓扑 (topologie) 学 (apprendre) 
Russe : Топология (topologiya)

A three-dimensional depiction of a thickened trefoil knot, the simplest non-trivial knot - Wikimedia Commons

La topologie s’intéresse aux espaces topologiques et aux applications qui les lient, dites continues . Elle permet de classer ces espaces, notamment les nœuds, entre autres par leur dimension (qui peut être aussi bien nulle qu’infinie) . Elle s’intéresse aussi à leurs déformations . En analyse, grâce aux informations qu’elle fournit sur l’espace considéré, elle permet d’obtenir un certain nombre de résultats (existence ou unicité de solutions d’équations différentielles, notamment).

Domaines : Géométrie, mathématiques


Cf. les fiches-clées :

-logie (suffixe)
Continuité (mathématiques)
Déformation géométrique, (d’un objet), spatiale

Espace topologique – (Inventaire) : Espace métrique – (Inventaire), vectoriel normé – (Inventaire)
Être mathématique – (Inventaire)

Géométrie – (Rubrique)
Le Topologicon (jean-pierre petit)
Les mathématiques (domaine) – (Rubrique) – (Inventaire) – Glossaire mathématique (rubrique)
Objet mathématique – (Inventaire)
Propriété invariante – (Inventaire)
Ruban de Möbius

Transformation continue

Chercheurs/Spécialistes/Enseignants/Vulgarisateurs :

Aurélien Barrau (scientifique français – professeur à l’université grenoble-alpes) – (Rubrique) – Leonhard Euler – Personnalités (rubrique/inventaire) – Jean-Pierre Petit (scientifique français)(Rubrique)

Ailleurs dans le site :

(Osmos) Aurélien Barrau (astrophysicien français, des astroparticules, trous noirs et cosmologie – professeur à l’université grenoble-alpes) – (Rubrique) – Jean-Pierre Petit (scientifique et cosmologue français) – (Rubrique)

Documentation (liens externes) :

page Wikipedia

(Articles)

Sources & Outils :

aurelien barrau (youtube) – Википедия – Bing – ECOSIA – French Dict – Google images – Google Traduction – Le Robert-Dixel MobileJean-Pierre Petit – Wikimedia CommonsWikipedia维基百科 – Wikipedia (ES)Wikipédia – YouTube

Degré

Quantité définie qui s’ajoute ou qui caractérise de façon discontinue un phénomène.

De grade, du latin gradus (marche).
Prononciation (phonétique) : dəgʀe

Abréviation / Symbole : deg / °
Appelé aussi : Objet mathématique (catégorie) 
Anglais : Degree (mathematics)
Espagnol : Grado (matemática)
Chinois : 度 (dù)
Russe : Степень (stepen’)

Mesure des angles avec un rapporteur - Maxicours.com

Domaines : Algèbre, statistique, théorie des graphes, topologie


Les fiches-clées :

Algèbre (rubrique)
Angle

Degré d’un polynôme (à une variable, à plusieurs variables), d’un sommet d’un graphe, d’une fraction rationnelle, sexagésimal
Équation du second degré : Second degré
Quantité
Rapporteur

Statistique
Second degré

Théorie des graphes
Topologie (rubrique)

Ailleurs dans le site :

(Osmos) Degré Celsius (centigrade), d’une échelle, d’un séisme, Fahrenheit
(Oseco) Degré de liberté

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

Sources :

Google FranceGoogle TraductionLe lexique de mathématique – netmathsMaxicours.com – QwantLe Robert-Dixel MobileWikimedia CommonsWikipediaWikipedia (ES)WikipédiaWikiversité – WordPress.com

Espace métrique

Ensemble (espace abstrait, non vide, e), au sein duquel la notion de distance (application d) est définie entre les éléments composant cet ensemble (points) . Généralisation de la notion intuitive de distance dans le plan et l’espace euclidiens (produit scalaire) . Les propriétés topologiques d’un tel espace ne sont pas directement définies à partir d’un ensemble d’ouverts (topologique), mais à partir d’une application nommée distance (métrique), qui permet de donner un rôle plus important à l’intuition géométrique . L’espace métrique est un cas particulier d’espace topologique et historiquement la première structure topologique.

Symboles : M – (E, d) {E, est un ensemble et d, une distance sur E … l’ensemble E muni de sa métrique}
Appelé aussi :
Espace R
Anglais : Metric space
Espagnol : Espacio métrico
Chinois : 度量空间 (Dùliàng kōngjiān)
Russe : Метрическое пространство (Metricheskoye prostranstvo)
(via Pixelmator) Espace métrique - Olivier Hartmanshenn - blog - L'OBS - Google Images

On appelle espace métrisable un espace topologique homéomorphe à un espace métrique (correspondance).

Définition mathématique (3 axiomes ou propriétés) :
Soit E un ensemble (non vide) . Une application d : E x E → R+ est appelée distance sur E (ou métrique sur E) si les points (axiomes, propriétés) suivants sont vérifiés (pour tout x, y, z, de E) :
1) d(x,y) ≥ 0 {pour tout couple d’éléments (x,y) de E}
2) d(x,y) = 0 ⇔ x = y {relation équivalente à} {axiome de séparation}
3) d(x,y) = d(y,x) {pour tout couple d’éléments de E} {symétrie de d}
4) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) {∀ (x,y,z) ∈ E×E×E} {inégalité dite du triangle, ou triangulaire}

Origine : Maurice Fréchet (normalien, mathématicien)
Histoire : L’espace métrique est historiquement la première structure topologique
Classe d’homéomorphie : Espace topologique (cas particulier)
Classe d’isométrie : Notion de distance entre deux points.
Exembles : Le plan non-euclidien, la sphère, etc.

Domaines : Espace métrique, géométrie, topologie


Les fiches-clées :

(quel que soit) – δ (delta) – ∈ (appartient à)
δ-hyperbolique

(quel que soit)
Application géométique

Axiome de séparation
Axiomes d’Euclide

Bijection
Boule fermée, ouverte

Calcul différentiel

Classe, d’homéomorphie, d’isométrie

Courbe – (Rubrique/Inventaire), de Jordan
Courbure

δ (delta)
δ-hyperbolique

d-uplet

Déformation continue
Dimension euclidienne
Distance (d), Distance dans l’espace, le plan, R – Écart
Droite

(appartient à)

… ensemble :  Les éléments d’un ensemble – Sous-ensemble
Ensemble (mathématique – E), convexe, dénombrable, non vide, ouvert, R+, vide
Les ensembles de nombres – (Inventaire) : La théorie des ensembles

… espace : Propriétés topologiques d’un espace

Espace (géométrie), (mathématiques), abstrait, affine, courbe, euclidien (à trois dimensions), fermé, hyperbolique

Espace métrique (rubrique), fermé, ouvert, parfait

Espace métrisable, ouvert, perçu – (Rubrique), topologique – (Rubrique), vectoriel

Fonction continue

Généralisation (topologie)
Géodésique

Géométrie – (Rubrique) : Les niveaux de la géométrie
Géométrique (adjectif) : Glossaire géométrique (rubrique), différentielle, euclidienne, euclidienne en dimension 3, hyperbolique (non-euclidienne, de Lobatchevsky), plane élémentaire, sphérique, sphérique-elliptique, usuelle

Les géométries – (Inventaire) : Les géométries de Thurston, multidimensionnelles – Bijection – Déformation continue – Homéomorphisme

Homéomorphisme

Inégalité triangulaire, ultramétrique
Intuition géométrique
Isométrie

La métrique – (Rubrique/Inventaire) : Métrique en dimension 2, euclidienne
Métrique (adjectif) : Espace métrique géodésique

Norme

Plan – (Rubrique/Inventaire), euclidien, non-euclidien
Point
Produit scalaire
Propriété

R+

Sphère
Surface

Topologie – (Rubrique) : Topologie générale –
Topologique (adjectif) : Structure topologique – Transformation topologique (homéomorphie)

Théorèmes (rubrique/inventaire) : Théorèmes d’uniformisation

Uniformisation : Théorèmes d’uniformisation
Uniformiser un cercle par une droite

Volume métrique

Chercheurs, spécialistes, enseignants, vulgarisateurs :

Maurice Fréchet (…) – (Rubrique) – … Hadamard (…) – (Rubrique) – … Volterra (…) – (Rubrique)

Ailleurs dans le site :

(Osmos) Cosmologie – (Rubrique), physique (contemporaine) – Cosmologique (adjectif) – Glossaire cosmologique (rubrique) – Courbure de l’espace-temps – Espace (Univers)Espace-temps – Gravitation quantique – Mécanique classique – Métrique de FLRW (Friedman-Lemaître-Robertson-Walker) – Relativité générale, restreinte – Théories d’unification – (Inventaire) – Topologie cosmique – Univers plat

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

(Cours) Notion d’espace métrique – ChronoMath – Topologie générale : Espace métrique – Wikiversité
(PDF) Introduction aux espaces métriques – LMPT Université de Tours

Sources & Outils :

维基百科 – Academic – Bases de l’analyse mathématique (Licence L2 L3 – Prépas) – ВикипедияBlogs – L’OBS – C&MChronoMathGilles Dubois (professeur)ECOSIA – Léonard Gallardo (LMPT Tours) – Google FranceGoogle images – Google TraductionOlivier Hartmanshenn (blog – L’OBS) – Histoire de la relativité du mouvement – images des Maths – L’île des mathématiquesLMPT Université de Tours – Le Petit Larousse – Le Robert-Dixel MobilePixelmator (outil, mac-os) – QwantWikipediaWikipedia (ES) – Wikipédia – Wikiversité – Wiktionnaire – WordPress.com