Ensemble

Collection d’objets (mathématiques ; éléments), la réunion de ces éléments en un tout (régit par des axiomes, des propriétés).

Du latin insimul (en même temps), de in- et simul (à la fois).
Prononciation (phonétique) : ɑ̃sɑ̃bl

Abréviation / Symbole : M
Anglais : Set (mathematics)
Espagnol : Conjunto
Chinois : 集合 (数学) {jíhé (shùxué) – ensemble (mathématiques)}
Russe : Множество (mnozhestvo – beaucoup)

Venn diagram - Cepheus - Wikimedia Commons

Un élément (m) d’un ensemble (M) est dit appartenir (∈) à cet ensemble (théorie des ensembles, approche axiomatique) . Un ensemble désignant un objet du domaine de la théorie des ensembles, dont les axiomes régissent les propriétés . Tout objet mathématique étant un ensemble . La notion d’ensemble est une notion de base qui intervient dans quasiment tous les domaines mathématiques.

Origine : Formulé par le mathématicien Georg Cantor 
Histoire :
La théorie des ensembles est la fondation des mathématiques.

Domaines : Ensembles, mathématiques, nombres


Les fiches-clées :

(appartenir à)

Appartenance (notion)

Axiome (mathématique)
Axiomatique (adjectif) : Approche axiomatique

Ensembles (rubrique) : Les ensembles de nombres – Théorie des ensembles – Théorie naïve des ensembles

Élément (mathématique) : Élément d’un ensemble
Fondements des mathématiques – Objet (mathématique) – Propriété (mathématique)

Chercheurs/Spécialistes :

Georg (Ferdinand Ludwig Philipp) Cantor (mathématicien) – (Rubrique) – Ernst (Friedrich Ferdinand) Zermelo (mathématicien allemand) – (Rubrique)

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

Sources & Outils :

Википедия – Cepheus (Wikimedia Commons) – Google FranceGoogle TraductionLe Robert-Dixel MobileQwantWikimedia CommonsWikipediaWikipedia (ES)维基百科 – WikipédiaWiktionnaire – WordPress.com

Ensemble des nombres Rationnels

Ensemble de fractions de la forme a/b où numérateur et dénominateur sont des entiers et le dénominateur non nul.

Symbole : ℚ (quotient)
Appelé aussi : Corps des rationnels – Ensemble des rationnels – Borne inférieure de R (ensemble des nombres réels) – Sous-ensemble des nombres réels
Anglais : Set of rational numbers
Espagnol : Conjunto de números racionales
Chinois : 设置有理数 (shèzhì yǒulǐshù) 有理数 (nombre rationnel) 数 (nombre)
Russe : Множество рациональных чисел (mnozhestvo ratsional’nykh chisel) Рациональных чисел (nombres rationnels)

Les nombres rationnels - Allô prof ? - alloprof.biz

Les nombres rationnels peuvent avoir une écriture décimale infinie, mais dans ce cas elle est toujours périodique . Les nombres décimaux (ensemble D) sont des nombres rationnels qui se cachent . L’ensemble des décimaux (y compris entiers naturels, entiers relatifs) est inclus dans Q.

Le corps des nombres rationnels ne vérifie pas la propriété de la borne supérieure (Ensemble des nombres réels, R) . Par contre on peut plonger Q dans un corps plus grand dans lequel cette propriété est vérifiée (R) . Les nombres rationnels forment ainsi un sous-ensemble des nombres réels (R).

Règles : {x ∈ Q tq x2 < 2}
Formules : Z ⊂ Q (l’ensemble des entiers est inclus dans l’ensemble des rationnels) N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ( ⊂ : appartient à)

Domaines : Arithmétique, ensembles, mathématiques, nombres (rationnels) 


Les fiches-clées :

Appartient à ( ⊂ )
Dénominateur, non nul

Ensemble (mathématique – E), des nombres décimaux (D), des entiers (Z) / naturels (N) / relatifs (Z), des nombres réels (R)
Les ensembles de nombres – (Inventaire)

Fraction – (Rubrique)

Nombre : Écriture décimale d’un nombre – Écriture décimale périodique d’un nombre – Nombre décimal, entier naturel, entier relatif, irrationnel, rationnel, réel
|La diversité des nombres – (Inventaire) : Les nombres entiers

Numérateur – (Rubrique)

Quotient

Documentation (liens externes) :

Les nombres rationnels (Q) – Allô prof ?

Sources & Outils :

alloprof – ECOSIA – Google FranceGoogle Traduction – Le Robert-Dixel MobileLa taverne de l’Irlandais – Qwant – Wikiversité – WordPress.com

Ensemble des nombres décimaux

Comprend tous les nombres (négatifs ou positifs) s’écrivant avec un nombre fini et non nul de chiffres après la virgule.

Symbole : 𝔻 (décimaux)
Anglais : Sef of decimal numbers
Espagnol : Conjunto de números decimales
Chinois : 所有小数 (suǒyǒu xiǎoshù) 有小数 (fractionnaires)
Russe : Множество десятичных чисел (mnozhestvo desyatichnykh chisel) Десятичных чисел (nombres décimaux)

Nombres décimaux - educastream.com

Les entiers relatifs sont aussi des décimaux (N ⊂ Z ⊂ D).

Domaines : Arithmétique, ensembles, mathématiques, nombres (décimaux)


Les fiches-clées :

Appartient à ( ⊂ )

Arithmétique (domaine) – (Rubrique/Inventaire)
Arithmétique (adjectif) : Glossaire arithmétique (rubrique)

Décimal (adjectif) : Décimale – Système décimal

Ensemble des entiers relatifs (Z)

Nombredécimal, entier relatif, fini, non nul
|La diversité des nombres – (Inventaire)

Système décimal
Virgule (linguistique)

Sources & Outils :

educastream.com – Google FranceGoogle TraductionLa taverne de l’Irlandais – Le Robert-Dixel Mobile – QwantWikipédiaWikiversité – WordPress.com

Ensemble des entiers naturels

Contient tous les chiffres de base (dont zéro) et les nombres positifs avec zéro pour décimale.

Symbole : ℕ (naturel) – N0 (incluant zéro) – N* ou N1 (n’incluant pas zéro)
Appelé aussi : Ensemble des nombres entiers naturels – (…) nombres naturels
Anglais : Set of natural numbers
Espagnol : Conjunto de números naturales
Chinois : 所有自然数 (suǒyǒu zìránshù – tous les nombres naturels)
Russe : Все натуральные числа (vse natural’nyye chisla – ensemble des nombres naturels)

El conjunto universo de los números reales - vitutor.net - taringa.net

On dit que ces entiers sont naturels car ce sont ceux que l’on utilise naturellement dans la vie de tous les jours . Il existe une infinité d’entiers naturels.

L’ensemble des entiers naturels appartient à l’ensemble des entiers relatifs : N ⊂ Z

Domaines : Arithmétique, ensembles, mathématiques, nombres


Les fiches-clées :

Arithmétique (domaine) – (Rubrique/Inventaire)
Arithmétique (adjectif) : Glossaire arithmétique (rubrique)

Chiffre – (Rubrique/Inventaire)
Les chiffres de base

Décimale
Ensemble des nombres entiers relatifs (Z)
Les ensembles (rubrique)

Nombre, entier positif, entier naturel, entier relatif
|La diversité des nombres – (Inventaire)

Zéro

Sources & Outils :

Google FranceGoogle Traduction – Le Robert-Dixel MobileTaringa! – La taverne de l’Irlandais – Vitutor – WikipédiaWikiversité – WordPress.com

Ensemble des nombres Réels

Ensemble des nombres dont le développement décimal est infini et non nécessairement périodique, qui regroupe tous les nombres rationnels (décimaux, entiers relatifs et naturels) et tous les nombres irrationnels, tel que Pi, et englobe ainsi tous les nombres qui peuvent se placer sur une droite graduée.

Symbole : ℝ
Appelé aussi : Corps des réels – Borne supérieure de Q (ensemble des nombres rationnels) – Super-ensemble (histoire) 
Anglais : Set of real numbers – Real number (nombre réel)
Espagnol : Reales – Número real (nombre réel)
Chinois : 实数集 (shíshù jí) 实数 (shíshù – réel)
Russe : Множество действительных чисел (mnozhestvo deystvitel’nykh chisel) Вещественное число (veshchestvennoye chislo – nombre réel)

Числовая прямая - Real number line - Phrood - Thenub314 - Wikimedia Commons
C’est un corps totalement ordonné, qui est muni des quatre opérations arithmétiques satisfaisant les mêmes règles que celles sur les fractions et ces opérations sont compatibles avec la relation d’ordre . Mais il satisfait en plus la propriété de la borne supérieure qui fonde l’analyse réelle . C’est aussi le dernier corps archimédien (selon David Hilbert).

Un ensemble R est représenté par une droite graduée (droite numérique) . Tout point de cette droite a pour abscisse un nombre réel . Tout nombre réel est l’abcisse d’un point de cette droite.

Ensembles : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ( ⊂ : contenu dans)
Histoire :
 Divers problèmes géométriques ont amené à considérer de nouveaux nombres comme Racine carré de 2 (√2) . Le premier d’entre eux est la longueur de l’hypothénuse d’un triangle rectangle isocèle de côté 1 . Le second est le périmètre d’un cercle de diamètre 1 . On démontra que ces deux nombres n’étaient pas des nombres rationnels . Par conséquent, on créa un super-ensemble contenant tous les nombres mesurables ainsi que leurs opposés : L’ensemble des nombres réels.

Domaines : Ensembles, mathématiques, nombres


Les fiches-clées :

Abscisse
Appartient à (∈) – N’appartient pas à (∉)

Borne : Propriété de la borne supérieure

Contenu dans ( ⊂ )
Corps (mathématique) – (Inventaire), archimédien, totalement ordonné

Droite – (Rubrique/Inventaire), graduée, numérique

Ensemble (mathématique) – (Inventaire)
Les ensembles de nombres – (Inventaire) : Ensemble des nombres décimaux (D), entiers, entiers naturels (N), entiers relatifs (Z), irrationnels (I)rationnels (Q)

Fraction – Intervalles réels

Nombre : Développement décimal d’un nombre – Développement décimal périodique d’un nombre – Nombre e (constante), irrationnel, pi (Pi, π), rationnelréel , réel positif (nombre mesurable)
|La diversité des nombres – (Inventaire) : Les nombres entiers

Opération arithmétique
Point

Racine carré de 2 (√2)
Relation d’ordre

Valeur, approchée, exacte : Arrondi – Troncature

Chercheurs/Spécialistes :

David Hilbert (…) – (Rubrique)

Documentation (liens externes) :

Les nombres réels (R) – allô prof – L’Ensemble des nombres réels – jeando.voila.net (PDF)

(Cours) Ensemble des nombres réels et sous-ensembles – Wikiversité – Intervalles dans l’ensemble des nombres réels – Wikiversité

Sources & Outils :

维基百科Allô prof – ВикипедияGoogle FranceGoogle Traductionjeando.voila.net – La taverne de l’IrlandaisLe Robert-Dixel MobileNotes (iOS) – Prood (Wikimedia Commons) – Qwant – Thenub314 (Wikimedia Commons) – Wikimedia Commons – WikipediaWikipedia (ES)WikipédiaWikiversité – WordPress.com

Théorie des ensembles

Collections de nombres (quantités) finis ou infinis d’objets (mathématiques) . Ces objets étant des nombres, des points de l’espace, des fonctions, etc. ; (notions d’ensemble et d’appartenance).

Anglais : Set theory (is the branch of mathematical logic that studies sets, which are collections of objects)
Espagnol : Teoría de conjuntos (es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos)
Chinois : 集合论 (Jíhé lùn)
Russe : Теория множеств (Teoriya mnozhestv)

Qu'est la théorie des ensembles ? - Gaogoa .free.fr

Pour les ensembles finis, la notion de puissance est la même que celle du nombre d’éléments . Pour les ensembles infinis, l’idée de nombre disparaît et celle de puissance demeure (très profonde, elle présente les plus grandes difficultés pour l’établissement d’une axiomatique) . Deux ensembles de même puissance se distinguent l’un de l’autre par leurs propriétés caractéristiques (structures) . Deux ensembles ont même puissance s’ils peuvent être liés par une relation bijective (phénoménologie de l’analyse).

Classe : Méthode générale
Origine : Créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle
Type : Théorie fondamentale
Histoire : Phase nouvelle pour les mathématiques

Domaines : Ensembles, mathématiques


Les fiches-clées :

Une axiomatique
Axiomatique (adjectif) : Méthode axiomatique

Ensemble (mathématique)
|Puissance d’un ensemble
Ensemble des nombres complexes (C) (imaginaires), entiers naturels (N), entiers relatifs (Z), hypercomplexes (H), p. adiques (Qp), rationnels (Q) (fractionnaires), réels (R), des octavions (O)
Ensemble fini, infini, structuré
Les ensembles de nombres – (Inventaire) : Intersection de deux ensembles

Espace mathématique / géométrique : Point de l’espace
Être mathématique

Fonction

Les mathématiques (domaine) – (Rubrique/Inventaire)
Mathématique (adjectif) : Glossaire mathématique (rubrique)

Méthode générale

Nombre(Inventaire), cardinal, complexe, entier (Les nombres entiers), entier de Eisenstein, entier de Gauss (complexe entier), entier naturel, entier relatif, fractionnaire, hypercomplexe (quaternion), imaginaire (i), irrationnel, ordinal, p. adique, rationnel (arithmétique) – (Rubrique/Inventaire), réel, surréel, transfini
Les nombres – (Inventaire)

Notion d’appartenance, d’ensemble, de structure
Octavion (octave, octonion de Cayley)

Phénoménologie de l’analyse
Point dans / de l’espace

Relation bijective

Structure d’ordre, d’un ensemble, mathématique, topologique
Structures algébriques, d’ensembles, d’ordre, topologiques

Chercheurs/Spécialistes/Enseignants/Vulgarisateurs :

Georg Cantor (…) – (Rubrique) – David Hilbert (…) – (Rubrique) – Mathématicien – (Rubrique) – (Inventaire)

Ailleurs dans le site :

(Osy) Psychanalyse(Rubrique) – Psychanalytique (adjectif)

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

(Articles/Fiches/Dossiers) Qu’est la théorie des ensembles ? – Gaogoa

Sources & Outils :

维基百科ВикипедияCopyLess 2 – Dictionnaire Espagnol-Français Larousse – ECOSIA – Gaogoa – Google FranceGoogle TraductionQwant – WikipediaWikipedia (ES)Wikipédia – WordPress.com