Espace vectoriel

Ensemble muni d’une structure permettant d’effectuer des combinaisons linéaires.

Symboles : R2 – Rn
Appelé aussi : R-espace vectoriel
Anglais : Vector space
Espagnol : Vektora spaco
Chinois : 向量空间 (xiàngliàng kōngjiān) 向量 (vecteur) 空间 (espace)
Russe : Векторное пространство (vektornoye prostranstvo)

Visualisation géométrique d’un espace vectoriel - Espaces vectoriels - Prépas Dupuy de Lôme

Notion ou structure fondamentale des mathématiques (modernes) qui permet/nécessite de dégager les propriétés communes que partagent des ensembles pourtant très différents . Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs, de sorte que l’on puisse additionner (et soustraire) deux vecteurs pour en former un troisième ou encore multiplier un vecteur d’un facteur lambda pour obtenir un nouveau vecteur, colinéaire, de même direction mais de longueur différente (lambda par le vecteur initial).

Les éléments de E sont des vecteurs, ceux de K sont des scalaires . L’élément neutre 0E s’appelle aussi le vecteur nul . Le symétrique −u d’un vecteur u ∈ E s’appelle aussi l’opposé . La loi de composition interne sur E, notée +, est l’addition . La loi de composition externe sur E est la multiplication par un scalaire.

Tout plan passant par l’origine dans R3 est un espace vectoriel.

Formule : R2 = {(x,y) | x ∈ R, y ∈ R}
Applications : Additionner deux vecteurs d’un plan ou deux fonctions, multiplier un vecteur par un réel ou une fonction par un réel, idem avec des polynômes, des matrices, etc. … pour obtenir des théorèmes généraux.

Domaines : Algèbre générale, espaces (géométriques, mathématiques), linéaire


Les fiches-clées :

(pour tout) – ∈ (élément de) – μ (mu)
Application (mathématique)
Axiome

Combinaison linéaire
Corps (mathématique)
Couple (x, y)

Droite (mathématique – D) – (Rubrique)

E (plan)

Ensemble (mathématique), K, non vide E
Les ensembles de nombres

Espace vectoriel affine, affine euclidien, normé – K-espace vectoriel (pour un corps quelconque) – R-espace vectoriel (R2)
Élement (mathématique),  neutre (0E), u (vecteur)

Fonction
Groupe commutatif
K (corps quelconque)
Loi mathématique, ⋅, +, de composition externe, interne
Matrice

n-uplet
Nombre réel

Opposé

Parallélogramme
Plan
Polynôme
Propriété

Scalaire (λ)
Structure (mathématique)

Théorèmes (rubrique)
Triplet (x,y,z)

Vecteur : Additionner deux vecteurs d’un plan – Multiplier un vecteur par un réel – Somme de 2 vecteurs, de n vecteurs – Vecteur colonne, nul (0,0), symétrique −(x,y), u + v – Vecteurs colinéaires

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia – Espaces vectoriels – Prépas Dupuy de Lômes

(Vidéos) Espaces vectoriels – Exo7Math – Youtube

Sources & Outils :

维基百科Википедия – Dupuy De Lôme – Classes préparatoires – Exo7Math (Youtube) – Google FranceGoogle TraductionLe Robert-Dixel MobileQwantWikipediaWikipedia (ES)Wikipédia – WordPress.com

Vecteur (sens large)

Élement (géométrique et algébrique) d’un espace vectoriel.

Du latin vector, dérivé de veho (transporter), de l’indo-européen *VAG (chariot).

Abréviation / Symbole : →
Anglais : Euclidean vector – Vector
Espagnol : Vector
Chinois : 矢量 (shǐliàng) 矢 (flèche) 量 (notion de quantité)
Russe : Вектор (геометрия) {vektor (geometriya)}

Espace vectoriel - Prépas Dupuy de Lôme

Un vecteur est définie par une direction, un sens et un module et représenté (comme un simple n-uplet) ou graphiquement par un segment orienté (flèche) ayant pour extrémités un point de départ et un point d’arrivée . La droite qui relie, ou parcourt, ces points est la direction du vecteur . Un vecteur à un sens, du point d’origine vers le point d’arrivée.

Un vecteur permet d’effectuer des opérations d’addition et de multiplication (par un scalaire) . Un vecteur est un tenseur d’ordre un.

Histoire : Auparavant et jusqu’au XVIe siècle le mot vecteur désignait le conducteur d’un véhicule, d’un bateau . Ce mot est repris dans le domaine scientifique vers le XVIIIe siècle en particulier en astronomie, en 1844 un mathématicien anglais introduit le mot vector dans son sens mathématique, et celui-ci revient finalement en France au début du XXe siècle.

Domaines : Algèbre, espaces (vectoriel), géométrie, mathématiques, vecteurs


Les fiches-clées :

Algèbre linéaire (rubrique), multilinéaire – Application linéaire – Astronomie (rubrique) – Bipoint – Caractérisation d’un élement spatio-vectoriel, d’un objet mathématique – Courbe
Dimension
Dimension 2 : Plan
Dimension 3 : Espace euclidien usuel

Direction
Droite

Espace multidimentionnel
Élement algébrique, géométrique, mathématique
Équation différentielle
Équipollence

Forme linéaire, trinomiale (ix + jy + kz)

Géométrie (rubrique) : Construction axiomatique de la géométrie – Géométrie euclidienne, projective, vectorielle
Grandeur scalaire

Matrice

n-uplet
Nombre complexe

Plan, euclidien
Point, d’arrivée, d’origine, de départ

Quaternion
Scalaire : Produit scalaire

Tenseur, d’ordre deux, d’ordre un
Triplet naturel

vecteur : Bivecteur – Direction d’un vecteur – Norme d’un vecteur (||AB||) – Vecteur de l’espace, du plan, somme
vectoriel : Champ vectoriel – Espace vectoriel – Produit vectoriel – Vectoriel

Chercheurs/Spécialistes :

Lon Battista Alberti (…) – (Rubrique) – Babyloniens (…) – (Rubrique) – Giusto Bellavitis (…) – (Rubrique) – Bernard Bolzano (…) – (Rubrique) – Filippo Brunelleschi (artiste peintre) – (Rubrique) – Michel Chasles (…) – (Rubrique) – William Kington Clifford (…) – (Rubrique) – René Descartes (…) – (Rubrique) – Euclide (…) – (Rubrique) – Piero della Francesca (peintre et mathématicien) – (Rubrique) – William Rowan Hamilton (…) – (Rubrique) – David Hilbert (…) – (Rubrique) – Qin Jiushao (chinois) – (Rubrique) – Pierre-Simon de Laplace (…) – (Rubrique) – Omar Khayyam (…) – (Rubrique) – Ulrich Libbrecht (…) – (Rubrique) – August Ferdinand Möbius (…) – (Rubrique) – Jean-Victor Poncelet (…) – (Rubrique) – Giorgio Vasari (…) – (Rubrique)

Ailleurs dans le site :

(Ophys) Vecteur (Biologie) – Vecteur (Génétique)
(Osmos) Centre de masse (Barycentre) – Coordonnées barycentriques – Dioptriques – Rayon vecteur – Vecteur (physique)
(Oseco) Vecteur (agriculture)
(Ose) Image matricielle, vectorielle – Vecteur (programmation informatique)

Documentation (liens externes) :

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