Espace vectoriel

Ensemble muni d’une structure permettant d’effectuer des combinaisons linéaires.

Symboles : R2 – Rn
Appelé aussi : R-espace vectoriel
Anglais : Vector space
Espagnol : Vektora spaco
Chinois : 向量空间 (xiàngliàng kōngjiān) 向量 (vecteur) 空间 (espace)
Russe : Векторное пространство (vektornoye prostranstvo)

Visualisation géométrique d’un espace vectoriel - Espaces vectoriels - Prépas Dupuy de Lôme

Notion ou structure fondamentale des mathématiques (modernes) qui permet/nécessite de dégager les propriétés communes que partagent des ensembles pourtant très différents . Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs, de sorte que l’on puisse additionner (et soustraire) deux vecteurs pour en former un troisième ou encore multiplier un vecteur d’un facteur lambda pour obtenir un nouveau vecteur, colinéaire, de même direction mais de longueur différente (lambda par le vecteur initial).

Les éléments de E sont des vecteurs, ceux de K sont des scalaires . L’élément neutre 0E s’appelle aussi le vecteur nul . Le symétrique −u d’un vecteur u ∈ E s’appelle aussi l’opposé . La loi de composition interne sur E, notée +, est l’addition . La loi de composition externe sur E est la multiplication par un scalaire.

Tout plan passant par l’origine dans R3 est un espace vectoriel.

Formule : R2 = {(x,y) | x ∈ R, y ∈ R}
Applications : Additionner deux vecteurs d’un plan ou deux fonctions, multiplier un vecteur par un réel ou une fonction par un réel, idem avec des polynômes, des matrices, etc. … pour obtenir des théorèmes généraux.

Domaines : Algèbre générale, espaces (géométriques, mathématiques), linéaire


Les fiches-clées :

(pour tout) – ∈ (élément de) – μ (mu)
Application (mathématique)
Axiome

Combinaison linéaire
Corps (mathématique)
Couple (x, y)

Droite (mathématique – D) – (Rubrique)

E (plan)

Ensemble (mathématique), K, non vide E
Les ensembles de nombres

Espace vectoriel affine, affine euclidien, normé – K-espace vectoriel (pour un corps quelconque) – R-espace vectoriel (R2)
Élement (mathématique),  neutre (0E), u (vecteur)

Fonction
Groupe commutatif
K (corps quelconque)
Loi mathématique, ⋅, +, de composition externe, interne
Matrice

n-uplet
Nombre réel

Opposé

Parallélogramme
Plan
Polynôme
Propriété

Scalaire (λ)
Structure (mathématique)

Théorèmes (rubrique)
Triplet (x,y,z)

Vecteur : Additionner deux vecteurs d’un plan – Multiplier un vecteur par un réel – Somme de 2 vecteurs, de n vecteurs – Vecteur colonne, nul (0,0), symétrique −(x,y), u + v – Vecteurs colinéaires

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia – Espaces vectoriels – Prépas Dupuy de Lômes

(Vidéos) Espaces vectoriels – Exo7Math – Youtube

Sources & Outils :

维基百科Википедия – Dupuy De Lôme – Classes préparatoires – Exo7Math (Youtube) – Google FranceGoogle TraductionLe Robert-Dixel MobileQwantWikipediaWikipedia (ES)Wikipédia – WordPress.com

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