(concept évolutif) Une fonction relie (correspondance) deux grandeurs (numériques ; éléments de deux ensembles distincts) de telle façon que la connaissance (nature ?) de la première (l’antécédent, x) permet de déterminer la deuxième (l’image, f ou y).
Du latin functio, de fungor (accomplir).
Prononciation (phonétique) : fɔ̃ksjɔ̃
Symboles : f {image} – f(x) {f de x, image de x par la fonction f … attention ce n’est pas une multiplication}
Appelé aussi : Analyse fonctionnelle cf.
Anglais : Function
Espagnol : Función matemática
Chinois : 函数 (hánshù)
Russe : Функция (funktsiya)
Les fonctions sont des outils mathématiques puissants . L’analyse fonctionnelle permet de résoudre des problèmes, de modéliser le comportement de systèmes physiques … Cet outil est ainsi indispensable à tout scientifique désireux de mettre en équation le monde qui l’entoure.
Une fonction est une relation qui à chaque valeur de la variable indépendante appelée x (l’antécédent), fait correspondre au plus une (0 ou 1) valeur de y (l’image de x) {y=f(x)} . C’est un outil ayant un ensemble de départ (D) et un ensemble d’arrivée (A), faisant correspondre aux éléments du premier des éléments du second.
Une fonction permet de transformer un nombre réel en un autre en lui appliquant une suite d’opérations (strictement identique pour chaque nouveau nombre) ; dans ce cas l’ensemble de départ est R, l’ensemble de définition est l’ensemble des réels pour lesquels on peut appliquer la suite d’opérations, et l’ensemble d’arrivée est R . Elle permet aussi d’associer des points à d’autres points à partir de considérations géométriques ; Dans ce cas l’ensemble de départ est l’ensemble des points du plan (ou de l’espace), l’ensemble d’arrivée est l’ensemble des points du plan (ou de l’espace).
Une fonction n’est pas une expression, mais un être mathématique qui peut être défini par une expression (cette dernière décrit le processus de manière visuelle, avec une formule) ; c’est un objet abstrait, une manière d’associer (↦) à un nombre (x) son image (y) . Une fonction peut être définie par autre chose qu’une formule : un tableau de valeurs, un graphique, une construction géométrique, une quantité physique, etc.
Notation : f : D → A ; x ⟼ y
Formule (expression) : y=f(x) {y dépend de x ; y est l’image de x et x l’antécédent de y par f}
Règles : Avoir un ensemble de départ contenant, l’ensemble de définition de la fonction et un ensemble d’arrivée . À chaque élément de cet ensemble de définition doit correspondre un de ceux de l’ensemble d’arrivée . L’image d’un nombre est unique . Par une fonction, une même image (y) peut avoir plusieurs antécédents (x) . Par contre, chaque antécédent n’a qu’une seule image.
Histoire : Introduction par Leibniz à la fin du XVIIe siècle.
Évolution du concept : 1) associée à une courbe du plan 2) combinaison d’opérations à partir d’une variable (et d’éventuels paramètres constants ; réels) 3) élargissement de la notion (définitions par morceaux et courbes qui ne peuvent pas être obtenues par des expressions analytiques) 4) condition de continuité 5) Indicatrice des rationnels 6) Ouverture de la variable aux nombres complexes 7) les fonctions acceptent plusieurs variables 8) une application devient un cas particulier de fonction (cf. théorie des ensembles, relation unique entre deux ensembles) 9) théorie de l’intégration et analyse fonctionnelle 10) prise en compte an analyse complexe de fonctions multivaluées sur l’ensemble des complexes (cf. prolongement analytique, fonction holomorphe, fonction classique, surface de Riemann) 11) généralisation en physique : distribution, fonction de Dirac.
Domaines : Fonctions, mathématiques
Les fiches-clées :
↦ (associe) – ∞ (infinie)
Analyse – Analyse complexe, fonctionnelle
Analytique – Prolongement analytique
Antécédent
complexe : Ensemble des complexes (C) – Nombre complexe
Continuité (mathématique)
Correspondance (mathématique)
Courbe, d’un plan
Croissance / Décroissance
Dérivée
Distribution
Ensemble (de nombres) : Ensemble d’arrivée (A) – Ensemble de départ (D)
Les ensembles (rubrique) : Relation entre deux ensembles – Théorie des ensembles
Entité mathématique
Espace
Expression (mathématique) : Expression analytique, définissant une fonction – f(x) – Égalité de deux expressions
Élement (mathématique)
Équation : Mise en équation
Être mathématique – f de x [f(x)]
… fonction : Courbe représentative d’une fonction – Définition d’une fonction – L’ensemble de définition d’une fonction (Df) – Expression d’une fonction – Étude qualitative d’une fonction – Image d’un nombre par une fonction – f(x) – Notion de fonction – Représentation graphique d’une fonction (courbe représentative, définie sur une intervalle … par une expression) – Valeur d’une fonction
Fonction algébrique, carré, classique, croissante, décroissante, holomorphe, inverse, logique, multivaluée, numérique, ponctuelle, usuelle
Fonction d’une variable réelle : Fonction complexe d’une variable réelle (fonction de R dans C) – Fonction réelle d’une variable réelle (fonction de R dans R)
Formalisation (mathématique)
Formule
Grandeur : Détermination d’une grandeur – Grandeur numérique
Image (mathématique)
Intervalle
Intégration : Théorie de l’intégration
Local / Global
Minimum / Maximum
Nombre au carré, élevé au carré, réel
Les nombres (rubrique)
Objet mathématique
Opération
Paramètre constant
Plan (P)
Point – Ensemble des points du plan (fonction ponctuelle)
Primitive – Repère graphique
(réel) Ensemble des réels (R) – Intervalle réel – Nombre réel
(rationnel) Ensemble des rationnels (Q) – Indicatrice des rationnels – Nombre rationnel
Signe – Surface de Riemann
Tableau de signes, de valeurs, de variations
Valeur – Substituer la valeur particulière à une inconnue (x) –
Valeur interdite – Divison par zéro – Ensemble de valeurs interdites – Racine carrée d’un nombre négatif
Variable – Plusieurs variables – Valeur d’une variable – Variable indépendante x, réelle
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Documentation (liens externes) :
Fonction (mathématiques élémentaires) – Wikipédia
(Cours) Généralités sur les fonctions – Wikiversité – Ensemble de définition d’une fonction – Wikiversité – Représentation graphique d’une fonction – Wikiversité – Sens de variation – Wikiversité – Signe – Wikiversité – Opérations sur les fonctions – Wikiversité
(EN) Function (mathematics) – Wikipedia
(Histoire) Page Wikipédia
Sources & Outils :
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