Espace vectoriel

Ensemble muni d’une structure permettant d’effectuer des combinaisons linéaires.

Symboles : R² – Rⁿ
Appelé aussi : R-espace vectoriel
Anglais : Vector space
Espagnol : Vektora spaco
Chinois : 向量空间 (xiàngliàng kōngjiān) 向量 (vecteur) 空间 (espace)
Russe : Векторное пространство (vektornoye prostranstvo)

Notion ou structure fondamentale des mathématiques (modernes) qui permet/nécessite de dégager les propriétés communes que partagent des ensembles pourtant très différents . Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs, de sorte que l’on puisse additionner (et soustraire) deux vecteurs pour en former un troisième ou encore multiplier un vecteur d’un facteur lambda pour obtenir un nouveau vecteur, colinéaire, de même direction mais de longueur différente (lambda par le vecteur initial).

Les éléments de E sont des vecteurs, ceux de K sont des scalaires . L’élément neutre 0_E s’appelle aussi le vecteur nul . Le symétrique −u d’un vecteur u ∈ E s’appelle aussi l’opposé . La loi de composition interne sur E, notée +, est l’addition . La loi de composition externe sur E est la multiplication par un scalaire.

Tout plan passant par l’origine dans R³ est un espace vectoriel.

Formule : R² = {(x,y) | x ∈ R, y ∈ R}
Applications : Additionner deux vecteurs d’un plan ou deux fonctions, multiplier un vecteur par un réel ou une fonction par un réel, idem avec des polynômes, des matrices, etc. … pour obtenir des théorèmes généraux.

Domaines : Algèbre générale, espaces (géométriques, mathématiques), linéaire

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Les fiches-clées :

∀ (pour tout) – ∈ (élément de) – μ (mu)
Application (mathématique)
Axiome

Combinaison linéaire
Corps (mathématique)
Couple (x, y)

Droite (mathématique – D) – (Rubrique)

E (plan)

Ensemble (mathématique), K, non vide E
Les ensembles de nombres

Espace vectoriel affine, affine euclidien, normé – K-espace vectoriel (pour un corps quelconque) – R-espace vectoriel (R²)
Élement (mathématique),  neutre (0_E), u (vecteur)

Fonction
Groupe commutatif
K (corps quelconque)
Loi mathématique, ⋅, +, de composition externe, interne
Matrice

n-uplet
Nombre réel

Opposé

Parallélogramme
Plan
Polynôme
Propriété

Scalaire (λ)
Structure (mathématique)

Théorèmes (rubrique)
Triplet (x,y,z)

Vecteur : Additionner deux vecteurs d’un plan – Multiplier un vecteur par un réel – Somme de 2 vecteurs, de n vecteurs – Vecteur colonne, nul (0,0), symétrique −(x,y), u + v – Vecteurs colinéaires

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia – Espaces vectoriels – Prépas Dupuy de Lômes

(Vidéos) Espaces vectoriels – Exo7Math – Youtube

Sources & Outils :

维基百科 – Википедия – Dupuy De Lôme – Classes préparatoires – Exo7Math (Youtube) – Google France – Google Traduction – Le Robert-Dixel Mobile – Qwant – Wikipedia – Wikipedia (ES) – Wikipédia – WordPress.com

Espace métrique

Ensemble (espace abstrait, non vide, e), au sein duquel la notion de distance (application d) est définie entre les éléments composant cet ensemble (points) . Généralisation de la notion intuitive de distance dans le plan et l’espace euclidiens (produit scalaire) . Les propriétés topologiques d’un tel espace ne sont pas directement définies à partir d’un ensemble d’ouverts (topologique), mais à partir d’une application nommée distance (métrique), qui permet de donner un rôle plus important à l’intuition géométrique . L’espace métrique est un cas particulier d’espace topologique et historiquement la première structure topologique.

Symboles : M – (E, d) {E, est un ensemble et d, une distance sur E … l’ensemble E muni de sa métrique}
Appelé aussi : Espace R^d 
Anglais : Metric space
Espagnol : Espacio métrico
Chinois : 度量空间 (Dùliàng kōngjiān)
Russe : Метрическое пространство (Metricheskoye prostranstvo)

On appelle espace métrisable un espace topologique homéomorphe à un espace métrique (correspondance).

Définition mathématique (3 axiomes ou propriétés) :
Soit E un ensemble (non vide) . Une application d : E x E → R₊ est appelée distance sur E (ou métrique sur E) si les points (axiomes, propriétés) suivants sont vérifiés (pour tout x, y, z, de E) :
1) d(x,y) ≥ 0 {pour tout couple d’éléments (x,y) de E}
2) d(x,y) = 0 ⇔ x = y {relation équivalente à} {axiome de séparation}
3) d(x,y) = d(y,x) {pour tout couple d’éléments de E} {symétrie de d}
4) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) {∀ (x,y,z) ∈ E×E×E} {inégalité dite du triangle, ou triangulaire}

Origine : Maurice Fréchet (normalien, mathématicien)
Histoire : L’espace métrique est historiquement la première structure topologique
Classe d’homéomorphie : Espace topologique (cas particulier)
Classe d’isométrie : Notion de distance entre deux points.
Exembles : Le plan non-euclidien, la sphère, etc.

Domaines : Espace métrique, géométrie, topologie

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Les fiches-clées :

∀ (quel que soit) – δ (delta) – ∈ (appartient à)
δ-hyperbolique

∀ (quel que soit)
Application géométique

Axiome de séparation
Axiomes d’Euclide

Bijection
Boule fermée, ouverte

Calcul différentiel

Classe, d’homéomorphie, d’isométrie

Courbe – (Rubrique/Inventaire), de Jordan
Courbure

δ (delta)
δ-hyperbolique

d-uplet

Déformation continue
Dimension euclidienne
Distance (d), Distance dans l’espace, le plan, R – Écart
Droite

∈ (appartient à)

… ensemble :  Les éléments d’un ensemble – Sous-ensemble
Ensemble (mathématique – E), convexe, dénombrable, non vide, ouvert, R₊, vide
Les ensembles de nombres – (Inventaire) : La théorie des ensembles

… espace : Propriétés topologiques d’un espace

Espace (géométrie), (mathématiques), abstrait, affine, courbe, euclidien (à trois dimensions), fermé, hyperbolique

Espace métrique (rubrique), fermé, ouvert, parfait

Espace métrisable, ouvert, perçu – (Rubrique), topologique – (Rubrique), vectoriel

Fonction continue

Généralisation (topologie)
Géodésique

Géométrie – (Rubrique) : Les niveaux de la géométrie
Géométrique (adjectif) : Glossaire géométrique (rubrique), différentielle, euclidienne, euclidienne en dimension 3, hyperbolique (non-euclidienne, de Lobatchevsky), plane élémentaire, sphérique, sphérique-elliptique, usuelle

Les géométries – (Inventaire) : Les géométries de Thurston, multidimensionnelles – Bijection – Déformation continue – Homéomorphisme

Homéomorphisme

Inégalité triangulaire, ultramétrique
Intuition géométrique
Isométrie

La métrique – (Rubrique/Inventaire) : Métrique en dimension 2, euclidienne
Métrique (adjectif) : Espace métrique géodésique

Norme

Plan – (Rubrique/Inventaire), euclidien, non-euclidien
Point
Produit scalaire
Propriété

R₊

Sphère
Surface

Topologie – (Rubrique) : Topologie générale –
Topologique (adjectif) : Structure topologique – Transformation topologique (homéomorphie)

Théorèmes (rubrique/inventaire) : Théorèmes d’uniformisation

Uniformisation : Théorèmes d’uniformisation
Uniformiser un cercle par une droite

Volume métrique

Chercheurs, spécialistes, enseignants, vulgarisateurs :

Maurice Fréchet (…) – (Rubrique) – … Hadamard (…) – (Rubrique) – … Volterra (…) – (Rubrique)

Ailleurs dans le site :

(Osmos) Cosmologie – (Rubrique), physique (contemporaine) – Cosmologique (adjectif) – Glossaire cosmologique (rubrique) – Courbure de l’espace-temps – Espace (Univers) – Espace-temps – Gravitation quantique – Mécanique classique – Métrique de FLRW (Friedman-Lemaître-Robertson-Walker) – Relativité générale, restreinte – Théories d’unification – (Inventaire) – Topologie cosmique – Univers plat

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

(Cours) Notion d’espace métrique – ChronoMath – Topologie générale : Espace métrique – Wikiversité
(PDF) Introduction aux espaces métriques – LMPT Université de Tours

Sources & Outils :

维基百科 – Academic – Bases de l’analyse mathématique (Licence L2 L3 – Prépas) – Википедия – Blogs – L’OBS – C&M – ChronoMath – Gilles Dubois (professeur) – ECOSIA – Léonard Gallardo (LMPT Tours) – Google France – Google images – Google Traduction – Olivier Hartmanshenn (blog – L’OBS) – Histoire de la relativité du mouvement – images des Maths – L’île des mathématiques – LMPT Université de Tours – Le Petit Larousse – Le Robert-Dixel Mobile – Pixelmator (outil, mac-os) – Qwant – Wikipedia – Wikipedia (ES) – Wikipédia – Wikiversité – Wiktionnaire – WordPress.com